Theorem suceloni 4425

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
suceloni	|- ( A e. On -> suc A e. On )

Proof of Theorem suceloni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4305	. . 3 |- ( A e. On -> Ord A )
2		ordsucim 4424	. . 3 |- ( Ord A -> Ord suc A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. On -> Ord suc A )
4		sucexg 4422	. . 3 |- ( A e. On -> suc A e. _V )
5		elong 4303	. . 3 |- ( suc A e. _V -> ( suc A e. On <-> Ord suc A ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. On -> ( suc A e. On <-> Ord suc A ) )
7	3, 6	mpbird 166	1 |- ( A e. On -> suc A e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   Ord word 4292   Oncon0 4293   suc csuc 4295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301

This theorem is referenced by:  sucelon  4427  unon  4435  onsuci  4440  ordsucunielexmid  4454  tfrlemisucaccv  6230  tfrexlem  6239  tfri1dALT  6256  rdgisuc1  6289  rdgon  6291  oacl  6364  oasuc  6368  omsuc  6376