Theorem sucelon 4427

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4305	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
3		elex 2700	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
4		sucexb 4421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ V)
6		elong 4303	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
7		ordsucg 4426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
8	6, 7	bitrd 187	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
9	5, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
10	2, 9	mpbird 166	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ On)
11	1, 10	impbii 125	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689  Ord word 4292  Oncon0 4293  suc csuc 4295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301

This theorem is referenced by:  onsucmin  4431  onsucuni2  4487