Theorem tpexg 4565

Description: An unordered triple of classes exists. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
tpexg	|- ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) -> { A , B , C } e. _V )

Proof of Theorem tpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3697	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		prexg 4325	. . . . 5 |- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> { A , B } e. _V )
3		snexg 4297	. . . . 5 |- ( C e. W -> { C } e. _V )
4	2, 3	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V ) /\ C e. W ) -> ( { A , B } e. _V /\ { C } e. _V ) )
5	4	3impa 1221	. . 3 |- ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) -> ( { A , B } e. _V /\ { C } e. _V ) )
6		unexg 4564	. . 3 |- ( ( { A , B } e. _V /\ { C } e. _V ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrid 2319	1 |- ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) -> { A , B , C } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   {csn 3689   {cpr 3690   {ctp 3691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-uni 3915

This theorem is referenced by:  prdsex  13482  prdsval  13486  imasex  13518  imasival  13519  imasbas  13520  imasplusg  13521  ring1  14203  psrval  14814  fnpsr  14815