Theorem imasplusg 12891

Description: The group operation in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasbas.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasbas.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasbas.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasplusg.p	|- .+ = ( +g ` R )
imasplusg.a	|- .+b = ( +g ` U )

Assertion

Ref	Expression
imasplusg	|- ( ph -> .+b = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } )

Distinct variable groups:   F, p, q   R, p, q   V, p, q   ph, p, q

Allowed substitution hints:   B( q, p)   .+ ( q, p)   .+b ( q, p)   U( q, p)   Z( q, p)

Proof of Theorem imasplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasplusg.a	. . 3 |- .+b = ( +g ` U )
2		imasbas.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
3		imasbas.v	. . . . . 6 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
4		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
5		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( .s ` R ) = ( .s ` R )
7		eqidd 2194	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } )
8		eqidd 2194	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } )
9		imasbas.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
10		imasbas.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Z )
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	imasival 12889	. . . . 5 |- ( ph -> U = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } )
12	11	fveq1d 5556	. . . 4 |- ( ph -> ( U ` ( +g ` ndx ) ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } ` ( +g ` ndx ) ) )
13		basendxnn 12674	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ndx ) e. NN
14		basfn 12676	. . . . . . . . . . 11 |- Base Fn _V
15	10	elexd 2773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. _V )
16		funfvex 5571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
17	16	funfni 5354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
18	14, 15, 17	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
19	3, 18	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> V e. _V )
20		focdmex 6167	. . . . . . . . 9 |- ( V e. _V -> ( F : V -onto-> B -> B e. _V ) )
21	19, 9, 20	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. _V )
22		opexg 4257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. _V ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
23	13, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
24		plusgndxnn 12729	. . . . . . . 8 |- ( +g ` ndx ) e. NN
25		fof 5476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
26	9, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : V --> B )
27	26, 19	fexd 5788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. _V )
28		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- p e. _V
29		fvexg 5573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. _V /\ p e. _V ) -> ( F ` p ) e. _V )
30	27, 28, 29	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` p ) e. _V )
31		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- q e. _V
32		fvexg 5573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. _V /\ q e. _V ) -> ( F ` q ) e. _V )
33	27, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` q ) e. _V )
34		opexg 4257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` p ) e. _V /\ ( F ` q ) e. _V ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V )
35	30, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V )
36	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> p e. _V )
37		plusgslid 12730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
38	37	slotex 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Z -> ( +g ` R ) e. _V )
39	10, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( +g ` R ) e. _V )
40	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> q e. _V )
41		ovexg 5952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. _V /\ ( +g ` R ) e. _V /\ q e. _V ) -> ( p ( +g ` R ) q ) e. _V )
42	36, 39, 40, 41	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( p ( +g ` R ) q ) e. _V )
43		fvexg 5573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. _V /\ ( p ( +g ` R ) q ) e. _V ) -> ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) e. _V )
44	27, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) e. _V )
45		opexg 4257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V /\ ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) e. _V ) -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. e. _V )
46	35, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. e. _V )
47		snexg 4213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. e. _V -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V )
49	48	ralrimivw 2568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V )
50		iunexg 6171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V ) -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V )
51	19, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V )
52	51	ralrimivw 2568	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V )
53		iunexg 6171	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V ) -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V )
54	19, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V )
55		opexg 4257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V ) -> <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. e. _V )
56	24, 54, 55	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. e. _V )
57		mulrslid 12749	. . . . . . . . 9 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
58	57	simpri 113	. . . . . . . 8 |- ( .r ` ndx ) e. NN
59	57	slotex 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Z -> ( .r ` R ) e. _V )
60	10, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( .r ` R ) e. _V )
61		ovexg 5952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. _V /\ ( .r ` R ) e. _V /\ q e. _V ) -> ( p ( .r ` R ) q ) e. _V )
62	36, 60, 40, 61	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( p ( .r ` R ) q ) e. _V )
63		fvexg 5573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. _V /\ ( p ( .r ` R ) q ) e. _V ) -> ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) e. _V )
64	27, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) e. _V )
65		opexg 4257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V /\ ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) e. _V ) -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. e. _V )
66	35, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. e. _V )
67		snexg 4213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. e. _V -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V )
69	68	ralrimivw 2568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V )
70		iunexg 6171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V ) -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V )
71	19, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V )
72	71	ralrimivw 2568	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V )
73		iunexg 6171	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V ) -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V )
74	19, 72, 73	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V )
75		opexg 4257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .r ` ndx ) e. NN /\ U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } e. _V ) -> <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. e. _V )
76	58, 74, 75	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. e. _V )
77		tpexg 4475	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V /\ <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. e. _V /\ <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. e. _V ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } e. _V )
78	23, 56, 76, 77	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } e. _V )
79	11, 78	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ph -> U e. _V )
80		plusgid 12728	. . . . 5 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
81	79, 80, 24	strndxid 12646	. . . 4 |- ( ph -> ( U ` ( +g ` ndx ) ) = ( +g ` U ) )
82	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( +g ` ndx ) e. NN )
83		basendxnplusgndx 12742	. . . . . 6 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
84	83	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx ) )
85		plusgndxnmulrndx 12750	. . . . . 6 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
86	85	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx ) )
87		fvtp2g 5767	. . . . 5 |- ( ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } e. _V ) /\ ( ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx ) ) ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } ` ( +g ` ndx ) ) = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } )
88	82, 54, 84, 86, 87	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } ` ( +g ` ndx ) ) = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } )
89	12, 81, 88	3eqtr3rd 2235	. . 3 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } = ( +g ` U ) )
90	1, 89	eqtr4id 2245	. 2 |- ( ph -> .+b = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } )
91		imasplusg.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` R )
92	91	oveqi 5931	. . . . . . . . 9 |- ( p .+ q ) = ( p ( +g ` R ) q )
93	92	fveq2i 5557	. . . . . . . 8 |- ( F ` ( p .+ q ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) )
94	93	opeq2i 3808	. . . . . . 7 |- <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >.
95	94	sneqi 3630	. . . . . 6 |- { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } = { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. }
96	95	a1i 9	. . . . 5 |- ( q e. V -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } = { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } )
97	96	iuneq2i 3930	. . . 4 |- U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } = U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. }
98	97	a1i 9	. . 3 |- ( p e. V -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } = U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. } )
99	98	iuneq2i 3930	. 2 |- U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) >. }
100	90, 99	eqtr4di 2244	1 |- ( ph -> .+b = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   _Vcvv 2760   {csn 3618   {ctp 3620   <.cop 3621   U_ciun 3912   Fn wfn 5249   -->wf 5250   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   NNcn 8982   ndxcnx 12615  Slot cslot 12617   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696   .scvsca 12699   "_s cimas 12882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-iimas 12885

This theorem is referenced by:  imasaddfn  12900  imasaddval  12901  imasaddf  12902  qusaddval  12918  qusaddf  12919