ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpexg GIF version

Theorem tpexg 4260
Description: An unordered triple of classes exists. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
tpexg ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)

Proof of Theorem tpexg
StepHypRef Expression
1 df-tp 3449 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 prexg 4029 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
3 snexg 4010 . . . . 5 (𝐶𝑊 → {𝐶} ∈ V)
42, 3anim12i 331 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉) ∧ 𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
543impa 1138 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
6 unexg 4259 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
75, 6syl 14 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
81, 7syl5eqel 2174 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 924  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  {csn 3441  {cpr 3442  {ctp 3443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-tp 3449  df-uni 3649
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator