Theorem tpexg 4588

Description: An unordered triple of classes exists. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
tpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)

Proof of Theorem tpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3716	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prexg 4347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
3		snexg 4319	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → {𝐶} ∈ V)
4	2, 3	anim12i 338	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
5	4	3impa 1225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
6		unexg 4587	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2325	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3708  {cpr 3709  {ctp 3710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-uni 3934

This theorem is referenced by:  imasex  13609  imasival  13610  imasbas  13611  imasplusg  13612  prdsex  14155  prdsval  14156  ring1  14347  psrval  15033  fnpsr  15034