Theorem tpexg 4496

Description: An unordered triple of classes exists. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
tpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)

Proof of Theorem tpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3643	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		prexg 4260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
3		snexg 4233	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → {𝐶} ∈ V)
4	2, 3	anim12i 338	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
5	4	3impa 1197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
6		unexg 4495	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2293	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∪ cun 3166  {csn 3635  {cpr 3636  {ctp 3637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-tp 3643  df-uni 3854

This theorem is referenced by:  prdsex  13151  prdsval  13155  imasex  13187  imasival  13188  imasbas  13189  imasplusg  13190  ring1  13871  psrval  14478  fnpsr  14479