ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpexg GIF version

Theorem tpexg 4294
Description: An unordered triple of classes exists. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
tpexg ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)

Proof of Theorem tpexg
StepHypRef Expression
1 df-tp 3474 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 prexg 4062 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
3 snexg 4040 . . . . 5 (𝐶𝑊 → {𝐶} ∈ V)
42, 3anim12i 332 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉) ∧ 𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
543impa 1141 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
6 unexg 4293 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
75, 6syl 14 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
81, 7syl5eqel 2181 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 927  wcel 1445  Vcvv 2633  cun 3011  {csn 3466  {cpr 3467  {ctp 3468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-tp 3474  df-uni 3676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator