Theorem tposfun 6421

Description: The transposition of a function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfun	|- ( Fun F -> Fun tpos F )

Proof of Theorem tposfun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5362	. . 3 |- Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
2		funco 5364	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) -> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( Fun F -> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
4		df-tpos 6406	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
5	4	funeqi 5345	. 2 |- ( Fun tpos F <-> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
6	3, 5	sylibr 134	1 |- ( Fun F -> Fun tpos F )

Syntax hints:   -> wi 4   u. cun 3196   (/)c0 3492   {csn 3667   U.cuni 3891   |-> cmpt 4148   `'ccnv 4722   dom cdm 4723   o. ccom 4727   Fun wfun 5318  tpos ctpos 6405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-fun 5326  df-tpos 6406

This theorem is referenced by:  tposfn2  6427