Theorem tposfun 6313

Description: The transposition of a function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfun	|- ( Fun F -> Fun tpos F )

Proof of Theorem tposfun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5292	. . 3 |- Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
2		funco 5294	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) -> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( Fun F -> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
4		df-tpos 6298	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
5	4	funeqi 5275	. 2 |- ( Fun tpos F <-> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
6	3, 5	sylibr 134	1 |- ( Fun F -> Fun tpos F )

Syntax hints:   -> wi 4   u. cun 3151   (/)c0 3446   {csn 3618   U.cuni 3835   |-> cmpt 4090   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   o. ccom 4663   Fun wfun 5248  tpos ctpos 6297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-fun 5256  df-tpos 6298

This theorem is referenced by:  tposfn2  6319