Theorem tposfun 6525

Description: The transposition of a function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfun	|- ( Fun F -> Fun tpos F )

Proof of Theorem tposfun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5413	. . 3 |- Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
2		funco 5415	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) -> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. 2 |- ( Fun F -> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
4		df-tpos 6510	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
5	4	funeqi 5396	. 2 |- ( Fun tpos F <-> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
6	3, 5	sylibr 134	1 |- ( Fun F -> Fun tpos F )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   u. cun 3218   (/)c0 3520   {csn 3708   U.cuni 3933   |-> cmpt 4190   `'ccnv 4771   dom cdm 4772   o. ccom 4776   Fun wfun 5369  tpos ctpos 6509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-fun 5377  df-tpos 6510

This theorem is used by:  tposfn2  6531