Theorem tposfun 6260

Description: The transposition of a function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfun	⊢ (Fun 𝐹 → Fun tpos 𝐹)

Proof of Theorem tposfun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5254	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})
2		funco 5256	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})) → Fun (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
4		df-tpos 6245	. . 3 ⊢ tpos 𝐹 = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
5	4	funeqi 5237	. 2 ⊢ (Fun tpos 𝐹 ↔ Fun (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
6	3, 5	sylibr 134	1 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun tpos 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∪ cun 3127  ∅c0 3422  {csn 3592  ∪ cuni 3809   ↦ cmpt 4064  ^◡ccnv 4625  dom cdm 4626   ∘ ccom 4630  Fun wfun 5210  tpos ctpos 6244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-fun 5218  df-tpos 6245

This theorem is referenced by:  tposfn2  6266