Theorem dftpos2 6492

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos2	|- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem dftpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmtpos 6487	. . 3 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
2	1	reseq2d 5038	. 2 |- ( Rel dom F -> (tpos F |` dom tpos F ) = (tpos F |` `' dom F ) )
3		reltpos 6481	. . 3 |- Rel tpos F
4		resdm 5077	. . 3 |- ( Rel tpos F -> (tpos F |` dom tpos F ) = tpos F )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- (tpos F |` dom tpos F ) = tpos F
6		df-tpos 6476	. . . 4 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7	6	reseq1i 5034	. . 3 |- (tpos F |` `' dom F ) = ( ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) |` `' dom F )
8		resco 5267	. . 3 |- ( ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) |` `' dom F ) = ( F o. ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) )
9		ssun1 3382	. . . . 5 |- `' dom F C_ ( `' dom F u. { (/) } )
10		resmpt 5086	. . . . 5 |- ( `' dom F C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) = ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) = ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } )
12	11	coeq2i 4915	. . 3 |- ( F o. ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) ) = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
13	7, 8, 12	3eqtri 2257	. 2 |- (tpos F |` `' dom F ) = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
14	2, 5, 13	3eqtr3g 2288	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   U.cuni 3914   |-> cmpt 4171   `'ccnv 4748   dom cdm 4749   |` cres 4751   o. ccom 4753   Rel wrel 4754  tpos ctpos 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-tpos 6476

This theorem is referenced by:  tposf12  6500