ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dftpos2 Unicode version

Theorem dftpos2 6040
Description: Alternate definition of tpos when  F has relational domain. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos2  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem dftpos2
StepHypRef Expression
1 dmtpos 6035 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
21reseq2d 4726 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  ->  (tpos  F  |` 
dom tpos  F )  =  (tpos 
F  |`  `' dom  F
) )
3 reltpos 6029 . . 3  |-  Rel tpos  F
4 resdm 4764 . . 3  |-  ( Rel tpos  F  ->  (tpos  F  |`  dom tpos  F )  = tpos  F
)
53, 4ax-mp 7 . 2  |-  (tpos  F  |` 
dom tpos  F )  = tpos  F
6 df-tpos 6024 . . . 4  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
76reseq1i 4722 . . 3  |-  (tpos  F  |`  `' dom  F )  =  ( ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  |`  `' dom  F )
8 resco 4948 . . 3  |-  ( ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  |`  `' dom  F )  =  ( F  o.  (
( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F ) )
9 ssun1 3164 . . . . 5  |-  `' dom  F 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
10 resmpt 4773 . . . . 5  |-  ( `' dom  F  C_  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  ->  (
( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F )  =  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) )
119, 10ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F )  =  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } )
1211coeq2i 4609 . . 3  |-  ( F  o.  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F ) )  =  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |-> 
U. `' { x } ) )
137, 8, 123eqtri 2113 . 2  |-  (tpos  F  |`  `' dom  F )  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) )
142, 5, 133eqtr3g 2144 1  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1290    u. cun 2998    C_ wss 3000   (/)c0 3287   {csn 3450   U.cuni 3659    |-> cmpt 3905   `'ccnv 4451   dom cdm 4452    |` cres 4454    o. ccom 4456   Rel wrel 4457  tpos ctpos 6023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-fv 5036  df-tpos 6024
This theorem is referenced by:  tposf12  6048
  Copyright terms: Public domain W3C validator