Theorem dftpos2 6532

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos2	|- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem dftpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmtpos 6527	. . 3 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
2	1	reseq2d 5063	. 2 |- ( Rel dom F -> (tpos F |` dom tpos F ) = (tpos F |` `' dom F ) )
3		reltpos 6521	. . 3 |- Rel tpos F
4		resdm 5102	. . 3 |- ( Rel tpos F -> (tpos F |` dom tpos F ) = tpos F )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- (tpos F |` dom tpos F ) = tpos F
6		df-tpos 6516	. . . 4 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7	6	reseq1i 5059	. . 3 |- (tpos F |` `' dom F ) = ( ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) |` `' dom F )
8		resco 5292	. . 3 |- ( ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) |` `' dom F ) = ( F o. ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) )
9		ssun1 3392	. . . . 5 |- `' dom F C_ ( `' dom F u. { (/) } )
10		resmpt 5111	. . . . 5 |- ( `' dom F C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) = ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) = ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } )
12	11	coeq2i 4940	. . 3 |- ( F o. ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) ) = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
13	7, 8, 12	3eqtri 2263	. 2 |- (tpos F |` `' dom F ) = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
14	2, 5, 13	3eqtr3g 2294	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   U.cuni 3935   |-> cmpt 4192   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   |` cres 4776   o. ccom 4778   Rel wrel 4779  tpos ctpos 6515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-tpos 6516

This theorem is used by:  tposf12  6540