Theorem dftpos2 6505

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos2	|- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem dftpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmtpos 6500	. . 3 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
2	1	reseq2d 5043	. 2 |- ( Rel dom F -> (tpos F |` dom tpos F ) = (tpos F |` `' dom F ) )
3		reltpos 6494	. . 3 |- Rel tpos F
4		resdm 5082	. . 3 |- ( Rel tpos F -> (tpos F |` dom tpos F ) = tpos F )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- (tpos F |` dom tpos F ) = tpos F
6		df-tpos 6489	. . . 4 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7	6	reseq1i 5039	. . 3 |- (tpos F |` `' dom F ) = ( ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) |` `' dom F )
8		resco 5272	. . 3 |- ( ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) |` `' dom F ) = ( F o. ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) )
9		ssun1 3386	. . . . 5 |- `' dom F C_ ( `' dom F u. { (/) } )
10		resmpt 5091	. . . . 5 |- ( `' dom F C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) = ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) = ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } )
12	11	coeq2i 4920	. . 3 |- ( F o. ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) ) = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
13	7, 8, 12	3eqtri 2259	. 2 |- (tpos F |` `' dom F ) = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
14	2, 5, 13	3eqtr3g 2290	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   u. cun 3212   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   U.cuni 3919   |-> cmpt 4176   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   |` cres 4756   o. ccom 4758   Rel wrel 4759  tpos ctpos 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-tpos 6489

This theorem is referenced by:  tposf12  6513