Theorem dftpos2 6240

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos2	|- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem dftpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmtpos 6235	. . 3 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
2	1	reseq2d 4891	. 2 |- ( Rel dom F -> (tpos F |` dom tpos F ) = (tpos F |` `' dom F ) )
3		reltpos 6229	. . 3 |- Rel tpos F
4		resdm 4930	. . 3 |- ( Rel tpos F -> (tpos F |` dom tpos F ) = tpos F )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- (tpos F |` dom tpos F ) = tpos F
6		df-tpos 6224	. . . 4 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7	6	reseq1i 4887	. . 3 |- (tpos F |` `' dom F ) = ( ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) |` `' dom F )
8		resco 5115	. . 3 |- ( ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) |` `' dom F ) = ( F o. ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) )
9		ssun1 3290	. . . . 5 |- `' dom F C_ ( `' dom F u. { (/) } )
10		resmpt 4939	. . . . 5 |- ( `' dom F C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) = ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) = ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } )
12	11	coeq2i 4771	. . 3 |- ( F o. ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` `' dom F ) ) = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
13	7, 8, 12	3eqtri 2195	. 2 |- (tpos F |` `' dom F ) = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) )
14	2, 5, 13	3eqtr3g 2226	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = ( F o. ( x e. `' dom F |-> U. `' { x } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   |` cres 4613   o. ccom 4615   Rel wrel 4616  tpos ctpos 6223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-tpos 6224

This theorem is referenced by:  tposf12  6248