Theorem phplem1 6913

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4648	. . 3 |- ( A e. om -> Ord A )
2		nordeq 4580	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> A =/= B )
3		disjsn2 3685	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
5	1, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
6		undif4 3513	. . 3 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( ( { A } u. A ) \ { B } ) )
7		df-suc 4406	. . . . 5 |- suc A = ( A u. { A } )
8	7	equncomi 3309	. . . 4 |- suc A = ( { A } u. A )
9	8	difeq1i 3277	. . 3 |- ( suc A \ { B } ) = ( ( { A } u. A ) \ { B } )
10	6, 9	eqtr4di 2247	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )
11	5, 10	syl 14	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   {csn 3622   Ord word 4397   suc csuc 4400   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627

This theorem is referenced by:  phplem2  6914