ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem1 Unicode version

Theorem phplem1 6548
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
phplem1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc  A  \  { B } ) )

Proof of Theorem phplem1
StepHypRef Expression
1 nnord 4416 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
2 nordeq 4350 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  A  =/=  B )
3 disjsn2 3500 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
42, 3syl 14 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
51, 4sylan 277 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
6 undif4 3342 . . 3  |-  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( { A }  u.  A )  \  { B } ) )
7 df-suc 4189 . . . . 5  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
87equncomi 3144 . . . 4  |-  suc  A  =  ( { A }  u.  A )
98difeq1i 3112 . . 3  |-  ( suc 
A  \  { B } )  =  ( ( { A }  u.  A )  \  { B } )
106, 9syl6eqr 2138 . 2  |-  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc 
A  \  { B } ) )
115, 10syl 14 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc  A  \  { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255    \ cdif 2994    u. cun 2995    i^i cin 2996   (/)c0 3284   {csn 3441   Ord word 4180   suc csuc 4183   omcom 4395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-tr 3929  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396
This theorem is referenced by:  phplem2  6549
  Copyright terms: Public domain W3C validator