Theorem phplem1 6754

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4533	. . 3 |- ( A e. om -> Ord A )
2		nordeq 4467	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> A =/= B )
3		disjsn2 3594	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
5	1, 4	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
6		undif4 3430	. . 3 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( ( { A } u. A ) \ { B } ) )
7		df-suc 4301	. . . . 5 |- suc A = ( A u. { A } )
8	7	equncomi 3227	. . . 4 |- suc A = ( { A } u. A )
9	8	difeq1i 3195	. . 3 |- ( suc A \ { B } ) = ( ( { A } u. A ) \ { B } )
10	6, 9	eqtr4di 2191	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )
11	5, 10	syl 14	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   (/)c0 3368   {csn 3532   Ord word 4292   suc csuc 4295   omcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513

This theorem is referenced by:  phplem2  6755