Theorem phplem1 7106

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4734	. . 3 |- ( A e. om -> Ord A )
2		nordeq 4666	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> A =/= B )
3		disjsn2 3752	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
5	1, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
6		undif4 3571	. . 3 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( ( { A } u. A ) \ { B } ) )
7		df-suc 4492	. . . . 5 |- suc A = ( A u. { A } )
8	7	equncomi 3365	. . . 4 |- suc A = ( { A } u. A )
9	8	difeq1i 3333	. . 3 |- ( suc A \ { B } ) = ( ( { A } u. A ) \ { B } )
10	6, 9	eqtr4di 2283	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )
11	5, 10	syl 14	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   \ cdif 3208   u. cun 3209   i^i cin 3210   (/)c0 3508   {csn 3689   Ord word 4483   suc csuc 4486   omcom 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-tr 4209  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713

This theorem is referenced by:  phplem2  7107