Theorem elvvuni 4790

Description: An ordered pair contains its union. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elvvuni	|- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem elvvuni

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4788	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2805	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2805	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	uniop 4348	. . . . 5 |- U. <. x , y >. = { x , y }
5	2, 3	opi2 4325	. . . . 5 |- { x , y } e. <. x , y >.
6	4, 5	eqeltri 2304	. . . 4 |- U. <. x , y >. e. <. x , y >.
7		unieq 3902	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
8		id 19	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> A = <. x , y >. )
9	7, 8	eleq12d 2302	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. A <-> U. <. x , y >. e. <. x , y >. ) )
10	6, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> U. A e. A )
11	10	exlimivv 1945	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> U. A e. A )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   {cpr 3670   <.cop 3672   U.cuni 3893   X. cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-opab 4151  df-xp 4731

This theorem is referenced by:  unielxp  6336