Theorem elvvuni 4757

Description: An ordered pair contains its union. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elvvuni	|- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem elvvuni

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4755	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2779	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2779	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	uniop 4318	. . . . 5 |- U. <. x , y >. = { x , y }
5	2, 3	opi2 4295	. . . . 5 |- { x , y } e. <. x , y >.
6	4, 5	eqeltri 2280	. . . 4 |- U. <. x , y >. e. <. x , y >.
7		unieq 3873	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
8		id 19	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> A = <. x , y >. )
9	7, 8	eleq12d 2278	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. A <-> U. <. x , y >. e. <. x , y >. ) )
10	6, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> U. A e. A )
11	10	exlimivv 1921	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> U. A e. A )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {cpr 3644   <.cop 3646   U.cuni 3864   X. cxp 4691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-opab 4122  df-xp 4699

This theorem is referenced by:  unielxp  6283