ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elvvuni Unicode version

Theorem elvvuni 4603
Description: An ordered pair contains its union. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
elvvuni  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  ->  U. A  e.  A )

Proof of Theorem elvvuni
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elvv 4601 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >. )
2 vex 2689 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
3 vex 2689 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
42, 3uniop 4177 . . . . 5  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
52, 3opi2 4155 . . . . 5  |-  { x ,  y }  e.  <.
x ,  y >.
64, 5eqeltri 2212 . . . 4  |-  U. <. x ,  y >.  e.  <. x ,  y >.
7 unieq 3745 . . . . 5  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  U. A  =  U. <. x ,  y >.
)
8 id 19 . . . . 5  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  A  =  <. x ,  y >. )
97, 8eleq12d 2210 . . . 4  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( U. A  e.  A  <->  U. <. x ,  y
>.  e.  <. x ,  y
>. ) )
106, 9mpbiri 167 . . 3  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  U. A  e.  A
)
1110exlimivv 1868 . 2  |-  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>.  ->  U. A  e.  A
)
121, 11sylbi 120 1  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  ->  U. A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {cpr 3528   <.cop 3530   U.cuni 3736    X. cxp 4537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-opab 3990  df-xp 4545
This theorem is referenced by:  unielxp  6072
  Copyright terms: Public domain W3C validator