Theorem elvvuni 4723

Description: An ordered pair contains its union. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elvvuni	|- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem elvvuni

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4721	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2763	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2763	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	uniop 4284	. . . . 5 |- U. <. x , y >. = { x , y }
5	2, 3	opi2 4262	. . . . 5 |- { x , y } e. <. x , y >.
6	4, 5	eqeltri 2266	. . . 4 |- U. <. x , y >. e. <. x , y >.
7		unieq 3844	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
8		id 19	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> A = <. x , y >. )
9	7, 8	eleq12d 2264	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. A <-> U. <. x , y >. e. <. x , y >. ) )
10	6, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> U. A e. A )
11	10	exlimivv 1908	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> U. A e. A )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {cpr 3619   <.cop 3621   U.cuni 3835   X. cxp 4657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-opab 4091  df-xp 4665

This theorem is referenced by:  unielxp  6227