Theorem elvvuni 4702

Description: An ordered pair contains its union. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elvvuni	|- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem elvvuni

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4700	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2752	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2752	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	uniop 4267	. . . . 5 |- U. <. x , y >. = { x , y }
5	2, 3	opi2 4245	. . . . 5 |- { x , y } e. <. x , y >.
6	4, 5	eqeltri 2260	. . . 4 |- U. <. x , y >. e. <. x , y >.
7		unieq 3830	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
8		id 19	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> A = <. x , y >. )
9	7, 8	eleq12d 2258	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. A <-> U. <. x , y >. e. <. x , y >. ) )
10	6, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> U. A e. A )
11	10	exlimivv 1906	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> U. A e. A )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   {cpr 3605   <.cop 3607   U.cuni 3821   X. cxp 4636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-opab 4077  df-xp 4644

This theorem is referenced by:  unielxp  6188