Theorem unipr 3750

Description: The union of a pair is the union of its members. Proposition 5.7 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)

Hypotheses

Ref	Expression
unipr.1	|- A e. _V
unipr.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unipr	|- U. { A , B } = ( A u. B )

Proof of Theorem unipr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1607	. . . 4 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y = A ) \/ ( x e. y /\ y = B ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y = A ) \/ E. y ( x e. y /\ y = B ) ) )
2		vex 2689	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3	2	elpr 3548	. . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } <-> ( y = A \/ y = B ) )
4	3	anbi2i 452	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ y e. { A , B } ) <-> ( x e. y /\ ( y = A \/ y = B ) ) )
5		andi 807	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ ( y = A \/ y = B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y = A ) \/ ( x e. y /\ y = B ) ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. { A , B } ) <-> ( ( x e. y /\ y = A ) \/ ( x e. y /\ y = B ) ) )
7	6	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. { A , B } ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y = A ) \/ ( x e. y /\ y = B ) ) )
8		unipr.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
9	8	clel3 2820	. . . . . 6 |- ( x e. A <-> E. y ( y = A /\ x e. y ) )
10		exancom 1587	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = A /\ x e. y ) <-> E. y ( x e. y /\ y = A ) )
11	9, 10	bitri 183	. . . . 5 |- ( x e. A <-> E. y ( x e. y /\ y = A ) )
12		unipr.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
13	12	clel3 2820	. . . . . 6 |- ( x e. B <-> E. y ( y = B /\ x e. y ) )
14		exancom 1587	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = B /\ x e. y ) <-> E. y ( x e. y /\ y = B ) )
15	13, 14	bitri 183	. . . . 5 |- ( x e. B <-> E. y ( x e. y /\ y = B ) )
16	11, 15	orbi12i 753	. . . 4 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y = A ) \/ E. y ( x e. y /\ y = B ) ) )
17	1, 7, 16	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. { A , B } ) )
18	17	abbii 2255	. 2 |- { x | ( x e. A \/ x e. B ) } = { x | E. y ( x e. y /\ y e. { A , B } ) }
19		df-un 3075	. 2 |- ( A u. B ) = { x | ( x e. A \/ x e. B ) }
20		df-uni 3737	. 2 |- U. { A , B } = { x | E. y ( x e. y /\ y e. { A , B } ) }
21	18, 19, 20	3eqtr4ri 2171	1 |- U. { A , B } = ( A u. B )

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   _Vcvv 2686   u. cun 3069   {cpr 3528   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  uniprg  3751  unisn  3752  uniop  4177  unex  4362  bj-unex  13117