Theorem snex 4300

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
snex	|- { A } e. _V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 |- A e. _V
2		snexg 4299	. 2 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- { A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697

This theorem is referenced by:  snelpw  4330  rext  4333  sspwb  4334  intid  4342  euabex  4343  mss  4344  exss  4345  opi1  4350  opeqsn  4371  opeqpr  4372  uniop  4374  snnex  4571  op1stb  4601  dtruex  4683  relop  4907  funopg  5388  funopsn  5862  fo1st  6353  fo2nd  6354  mapsn  6927  mapsnconst  6931  mapsncnv  6932  mapsnf1o2  6933  elixpsn  6972  ixpsnf1o  6973  ensn1  7038  mapsnen  7055  dom1o  7071  xpsnen  7074  endisj  7077  xpcomco  7079  xpassen  7083  phplem2  7109  findcard2  7148  findcard2s  7149  ac6sfi  7157  xpfi  7194  mapfi  7216  djuex  7336  0ct  7400  finomni  7433  exmidfodomrlemim  7506  djuassen  7526  cc2lem  7582  nn0ex  9504  xnn0nnen  10803  fxnn0nninf  10805  inftonninf  10808  hashxp  11195  nninfct  12741  fngsum  13618  znval  14801  fnpsr  14832  reldvg  15561  plyval  15614  elply2  15617  plyss  15620  plyco  15641  plycj  15643