Theorem snex 4215

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
snex	|- { A } e. _V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 |- A e. _V
2		snexg 4214	. 2 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- { A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625

This theorem is referenced by:  snelpw  4243  rext  4245  sspwb  4246  intid  4254  euabex  4255  mss  4256  exss  4257  opi1  4262  opeqsn  4282  opeqpr  4283  uniop  4285  snnex  4480  op1stb  4510  dtruex  4592  relop  4813  funopg  5289  fo1st  6212  fo2nd  6213  mapsn  6746  mapsnconst  6750  mapsncnv  6751  mapsnf1o2  6752  elixpsn  6791  ixpsnf1o  6792  ensn1  6852  mapsnen  6867  xpsnen  6877  endisj  6880  xpcomco  6882  xpassen  6886  phplem2  6911  findcard2  6947  findcard2s  6948  ac6sfi  6956  xpfi  6988  djuex  7104  0ct  7168  finomni  7201  exmidfodomrlemim  7263  djuassen  7279  cc2lem  7328  nn0ex  9249  xnn0nnen  10511  fxnn0nninf  10513  inftonninf  10516  hashxp  10900  nninfct  12181  fngsum  12974  znval  14135  fnpsr  14164  reldvg  14858  plyval  14911  elply2  14914  plyss  14917  plyco  14937  plycj  14939