Theorem snex 4245

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
snex	|- { A } e. _V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 |- A e. _V
2		snexg 4244	. 2 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- { A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {csn 3643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649

This theorem is referenced by:  snelpw  4274  rext  4277  sspwb  4278  intid  4286  euabex  4287  mss  4288  exss  4289  opi1  4294  opeqsn  4315  opeqpr  4316  uniop  4318  snnex  4513  op1stb  4543  dtruex  4625  relop  4846  funopg  5324  funopsn  5785  fo1st  6266  fo2nd  6267  mapsn  6800  mapsnconst  6804  mapsncnv  6805  mapsnf1o2  6806  elixpsn  6845  ixpsnf1o  6846  ensn1  6911  mapsnen  6927  xpsnen  6941  endisj  6944  xpcomco  6946  xpassen  6950  phplem2  6975  findcard2  7012  findcard2s  7013  ac6sfi  7021  xpfi  7055  djuex  7171  0ct  7235  finomni  7268  exmidfodomrlemim  7340  djuassen  7360  cc2lem  7413  nn0ex  9336  xnn0nnen  10619  fxnn0nninf  10621  inftonninf  10624  hashxp  11008  nninfct  12477  fngsum  13335  znval  14513  fnpsr  14544  reldvg  15266  plyval  15319  elply2  15322  plyss  15325  plyco  15346  plycj  15348  dom1o  16128