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Theorem peano4nninf 14411
Description: The successor function on ℕ is one to one. Half of Lemma 3.4 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
peano4nninf.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
peano4nninf  |-  S : -1-1->
Distinct variable groups:    S, i    i, p
Allowed substitution hint:    S( p)

Proof of Theorem peano4nninf
Dummy variables  k  x  y  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano4nninf.s . . 3  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
21nnsf 14410 . 2  |-  S : -->
3 fveq1 5510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  x  ->  (
f `  suc  j )  =  ( x `  suc  j ) )
4 fveq1 5510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  x  ->  (
f `  j )  =  ( x `  j ) )
53, 4sseq12d 3186 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  x  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( x `  suc  j
)  C_  ( x `  j ) ) )
65ralbidv 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  x  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
x `  suc  j ) 
C_  ( x `  j ) ) )
7 df-nninf 7113 . . . . . . . . 9  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
86, 7elrab2 2896 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  <->  ( x  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
x `  suc  j ) 
C_  ( x `  j ) ) )
98simplbi 274 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ->  x  e.  ( 2o 
^m  om ) )
10 elmapfn 6665 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  om )  ->  x  Fn  om )
119, 10syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ->  x  Fn  om )
1211ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  x  Fn  om )
13 fveq1 5510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f `  suc  j )  =  ( y `  suc  j ) )
14 fveq1 5510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f `  j )  =  ( y `  j ) )
1513, 14sseq12d 3186 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  y  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( y `  suc  j
)  C_  ( y `  j ) ) )
1615ralbidv 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  y  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
y `  suc  j ) 
C_  ( y `  j ) ) )
1716, 7elrab2 2896 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  <->  ( y  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
y `  suc  j ) 
C_  ( y `  j ) ) )
1817simplbi 274 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ->  y  e.  ( 2o 
^m  om ) )
19 elmapfn 6665 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  om )  ->  y  Fn  om )
2018, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ->  y  Fn  om )
2120ad2antlr 489 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  y  Fn  om )
22 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  y ) )
2322fveq1d 5513 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  ( ( S `
 y ) `  suc  k ) )
24 fveq1 5510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  x  ->  (
p `  U. i )  =  ( x `  U. i ) )
2524ifeq2d 3552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  x  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) )
2625mpteq2dv 4091 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  x  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. i ) ) ) )
27 omex 4589 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  _V
2827mptex 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) )  e.  _V
2926, 1, 28fvmpt 5589 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ->  ( S `  x
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) ) )
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  x )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( x `  U. i ) ) ) )
31 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
i  =  suc  k
)
3231eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( i  =  (/)  <->  suc  k  =  (/) ) )
3331unieqd 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  U. i  =  U. suc  k )
3433fveq2d 5515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( x `  U. i )  =  ( x `  U. suc  k ) )
3532, 34ifbieq2d 3558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. i ) )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) ) )
36 peano2 4591 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
3736adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  suc  k  e.  om )
38 1lt2o 6437 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
3938a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
40 nninff 7115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ->  x : om --> 2o )
4140ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  x : om --> 2o )
42 nnpredcl 4619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  k  e.  om  ->  U.
suc  k  e.  om )
4337, 42syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  U. suc  k  e.  om )
4441, 43ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  U. suc  k
)  e.  2o )
45 nndceq0 4614 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  k  e.  om  -> DECID  suc  k  =  (/) )
4637, 45syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  -> DECID  suc  k  =  (/) )
4739, 44, 46ifcldcd 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) )  e.  2o )
4830, 35, 37, 47fvmptd 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. suc  k ) ) )
49 peano3 4592 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  =/=  (/) )
5049adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  suc  k  =/=  (/) )
5150neneqd 2368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  -.  suc  k  =  (/) )
5251iffalsed 3544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) )  =  ( x `  U. suc  k ) )
53 nnord 4608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
54 ordtr 4375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  k  ->  Tr  k
)
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  Tr  k )
56 unisucg 4411 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  ( Tr  k  <->  U. suc  k  =  k ) )
5755, 56mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  om  ->  U. suc  k  =  k )
5857fveq2d 5515 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  (
x `  U. suc  k
)  =  ( x `
 k ) )
5958adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  U. suc  k
)  =  ( x `
 k ) )
6048, 52, 593eqtrd 2214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  ( x `  k ) )
61 fveq1 5510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  y  ->  (
p `  U. i )  =  ( y `  U. i ) )
6261ifeq2d 3552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  y  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) )
6362mpteq2dv 4091 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. i ) ) ) )
6427mptex 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) )  e.  _V
6563, 1, 64fvmpt 5589 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ->  ( S `  y
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) ) )
6665ad3antlr 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  y )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( y `  U. i ) ) ) )
6733fveq2d 5515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( y `  U. i )  =  ( y `  U. suc  k ) )
6832, 67ifbieq2d 3558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. i ) )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) ) )
69 nninff 7115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ->  y : om --> 2o )
7069ad3antlr 493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  y : om --> 2o )
7170, 43ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
y `  U. suc  k
)  e.  2o )
7239, 71, 46ifcldcd 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) )  e.  2o )
7366, 68, 37, 72fvmptd 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  y
) `  suc  k )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. suc  k ) ) )
7451iffalsed 3544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) )  =  ( y `  U. suc  k ) )
7557fveq2d 5515 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  (
y `  U. suc  k
)  =  ( y `
 k ) )
7675adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
y `  U. suc  k
)  =  ( y `
 k ) )
7773, 74, 763eqtrd 2214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  y
) `  suc  k )  =  ( y `  k ) )
7823, 60, 773eqtr3d 2218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) )
7912, 21, 78eqfnfvd 5612 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  x  =  y )
8079ex 115 . . 3  |-  ( ( x  e.  /\  y  e. )  ->  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) )
8180rgen2a 2531 . 2  |-  A. x  e.  A. y  e.  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y )
82 dff13 5763 . 2  |-  ( S : -1-1->  <->  ( S : -->  /\  A. x  e.  A. y  e.  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) ) )
832, 81, 82mpbir2an 942 1  |-  S : -1-1->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455    C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   U.cuni 3807    |-> cmpt 4061   Tr wtr 4098   Ord word 4359   suc csuc 4362   omcom 4586    Fn wfn 5207   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1oc1o 6404   2oc2o 6405    ^m cmap 6642  ℕxnninf 7112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-nninf 7113
This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  14426
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