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Theorem peano4nninf 11851
Description: The successor function on ℕ is one to one. Half of Lemma 3.4 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
peano4nninf.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
peano4nninf  |-  S : -1-1->
Distinct variable groups:    S, i    i, p
Allowed substitution hint:    S( p)

Proof of Theorem peano4nninf
Dummy variables  k  x  y  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano4nninf.s . . 3  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
21nnsf 11850 . 2  |-  S : -->
3 fveq1 5304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  x  ->  (
f `  suc  j )  =  ( x `  suc  j ) )
4 fveq1 5304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  x  ->  (
f `  j )  =  ( x `  j ) )
53, 4sseq12d 3055 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  x  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( x `  suc  j
)  C_  ( x `  j ) ) )
65ralbidv 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  x  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
x `  suc  j ) 
C_  ( x `  j ) ) )
7 df-nninf 6789 . . . . . . . . 9  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
86, 7elrab2 2774 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  <->  ( x  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
x `  suc  j ) 
C_  ( x `  j ) ) )
98simplbi 268 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ->  x  e.  ( 2o 
^m  om ) )
10 elmapfn 6426 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  om )  ->  x  Fn  om )
119, 10syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ->  x  Fn  om )
1211ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  x  Fn  om )
13 fveq1 5304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f `  suc  j )  =  ( y `  suc  j ) )
14 fveq1 5304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f `  j )  =  ( y `  j ) )
1513, 14sseq12d 3055 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  y  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( y `  suc  j
)  C_  ( y `  j ) ) )
1615ralbidv 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  y  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
y `  suc  j ) 
C_  ( y `  j ) ) )
1716, 7elrab2 2774 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  <->  ( y  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
y `  suc  j ) 
C_  ( y `  j ) ) )
1817simplbi 268 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ->  y  e.  ( 2o 
^m  om ) )
19 elmapfn 6426 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  om )  ->  y  Fn  om )
2018, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ->  y  Fn  om )
2120ad2antlr 473 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  y  Fn  om )
22 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  y ) )
2322fveq1d 5307 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  ( ( S `
 y ) `  suc  k ) )
24 fveq1 5304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  x  ->  (
p `  U. i )  =  ( x `  U. i ) )
2524ifeq2d 3409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  x  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) )
2625mpteq2dv 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  x  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. i ) ) ) )
27 omex 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  _V
2827mptex 5523 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) )  e.  _V
2926, 1, 28fvmpt 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ->  ( S `  x
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) ) )
3029ad3antrrr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  x )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( x `  U. i ) ) ) )
31 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
i  =  suc  k
)
3231eqeq1d 2096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( i  =  (/)  <->  suc  k  =  (/) ) )
3331unieqd 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  U. i  =  U. suc  k )
3433fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( x `  U. i )  =  ( x `  U. suc  k ) )
3532, 34ifbieq2d 3415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. i ) )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) ) )
36 peano2 4410 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
3736adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  suc  k  e.  om )
38 1lt2o 11841 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
3938a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
40 nninff 11849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ->  x : om --> 2o )
4140ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  x : om --> 2o )
42 nnpredcl 11845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  k  e.  om  ->  U.
suc  k  e.  om )
4337, 42syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  U. suc  k  e.  om )
4441, 43ffvelrnd 5435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  U. suc  k
)  e.  2o )
45 nndceq0 4431 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  k  e.  om  -> DECID  suc  k  =  (/) )
4637, 45syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  -> DECID  suc  k  =  (/) )
4739, 44, 46ifcldcd 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) )  e.  2o )
4830, 35, 37, 47fvmptd 5385 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. suc  k ) ) )
49 peano3 4411 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  =/=  (/) )
5049adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  suc  k  =/=  (/) )
5150neneqd 2276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  -.  suc  k  =  (/) )
5251iffalsed 3403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) )  =  ( x `  U. suc  k ) )
53 nnord 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
54 ordtr 4205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  k  ->  Tr  k
)
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  Tr  k )
56 unisucg 4241 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  ( Tr  k  <->  U. suc  k  =  k ) )
5755, 56mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  om  ->  U. suc  k  =  k )
5857fveq2d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  (
x `  U. suc  k
)  =  ( x `
 k ) )
5958adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  U. suc  k
)  =  ( x `
 k ) )
6048, 52, 593eqtrd 2124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  ( x `  k ) )
61 fveq1 5304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  y  ->  (
p `  U. i )  =  ( y `  U. i ) )
6261ifeq2d 3409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  y  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) )
6362mpteq2dv 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. i ) ) ) )
6427mptex 5523 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) )  e.  _V
6563, 1, 64fvmpt 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ->  ( S `  y
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) ) )
6665ad3antlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  y )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( y `  U. i ) ) ) )
6733fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( y `  U. i )  =  ( y `  U. suc  k ) )
6832, 67ifbieq2d 3415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. i ) )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) ) )
69 nninff 11849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ->  y : om --> 2o )
7069ad3antlr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  y : om --> 2o )
7170, 43ffvelrnd 5435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
y `  U. suc  k
)  e.  2o )
7239, 71, 46ifcldcd 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) )  e.  2o )
7366, 68, 37, 72fvmptd 5385 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  y
) `  suc  k )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. suc  k ) ) )
7451iffalsed 3403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) )  =  ( y `  U. suc  k ) )
7557fveq2d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  (
y `  U. suc  k
)  =  ( y `
 k ) )
7675adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
y `  U. suc  k
)  =  ( y `
 k ) )
7773, 74, 763eqtrd 2124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  y
) `  suc  k )  =  ( y `  k ) )
7823, 60, 773eqtr3d 2128 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) )
7912, 21, 78eqfnfvd 5400 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  x  =  y )
8079ex 113 . . 3  |-  ( ( x  e.  /\  y  e. )  ->  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) )
8180rgen2a 2429 . 2  |-  A. x  e.  A. y  e.  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y )
82 dff13 5547 . 2  |-  ( S : -1-1->  <->  ( S : -->  /\  A. x  e.  A. y  e.  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) ) )
832, 81, 82mpbir2an 888 1  |-  S : -1-1->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359    C_ wss 2999   (/)c0 3286   ifcif 3393   U.cuni 3653    |-> cmpt 3899   Tr wtr 3936   Ord word 4189   suc csuc 4192   omcom 4405    Fn wfn 5010   -->wf 5011   -1-1->wf1 5012   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1oc1o 6174   2oc2o 6175    ^m cmap 6403  ℕxnninf 6787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1o 6181  df-2o 6182  df-map 6405  df-nninf 6789
This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  11867
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