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Theorem peano4nninf 13011
Description: The successor function on ℕ is one to one. Half of Lemma 3.4 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
peano4nninf.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
peano4nninf  |-  S : -1-1->
Distinct variable groups:    S, i    i, p
Allowed substitution hint:    S( p)

Proof of Theorem peano4nninf
Dummy variables  k  x  y  f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano4nninf.s . . 3  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
21nnsf 13010 . 2  |-  S : -->
3 fveq1 5386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  x  ->  (
f `  suc  j )  =  ( x `  suc  j ) )
4 fveq1 5386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  x  ->  (
f `  j )  =  ( x `  j ) )
53, 4sseq12d 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  x  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( x `  suc  j
)  C_  ( x `  j ) ) )
65ralbidv 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  x  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
x `  suc  j ) 
C_  ( x `  j ) ) )
7 df-nninf 6973 . . . . . . . . 9  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
86, 7elrab2 2814 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  <->  ( x  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
x `  suc  j ) 
C_  ( x `  j ) ) )
98simplbi 270 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ->  x  e.  ( 2o 
^m  om ) )
10 elmapfn 6531 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  om )  ->  x  Fn  om )
119, 10syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ->  x  Fn  om )
1211ad2antrr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  x  Fn  om )
13 fveq1 5386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f `  suc  j )  =  ( y `  suc  j ) )
14 fveq1 5386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f `  j )  =  ( y `  j ) )
1513, 14sseq12d 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  y  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( y `  suc  j
)  C_  ( y `  j ) ) )
1615ralbidv 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  y  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
y `  suc  j ) 
C_  ( y `  j ) ) )
1716, 7elrab2 2814 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  <->  ( y  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
y `  suc  j ) 
C_  ( y `  j ) ) )
1817simplbi 270 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ->  y  e.  ( 2o 
^m  om ) )
19 elmapfn 6531 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  om )  ->  y  Fn  om )
2018, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ->  y  Fn  om )
2120ad2antlr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  y  Fn  om )
22 simplr 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  y ) )
2322fveq1d 5389 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  ( ( S `
 y ) `  suc  k ) )
24 fveq1 5386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  x  ->  (
p `  U. i )  =  ( x `  U. i ) )
2524ifeq2d 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  x  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) )
2625mpteq2dv 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  x  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. i ) ) ) )
27 omex 4475 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  _V
2827mptex 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) )  e.  _V
2926, 1, 28fvmpt 5464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ->  ( S `  x
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. i ) ) ) )
3029ad3antrrr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  x )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( x `  U. i ) ) ) )
31 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
i  =  suc  k
)
3231eqeq1d 2124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( i  =  (/)  <->  suc  k  =  (/) ) )
3331unieqd 3715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  U. i  =  U. suc  k )
3433fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( x `  U. i )  =  ( x `  U. suc  k ) )
3532, 34ifbieq2d 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. i ) )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) ) )
36 peano2 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
3736adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  suc  k  e.  om )
38 1lt2o 6305 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
3938a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
40 nninff 13009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ->  x : om --> 2o )
4140ad3antrrr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  x : om --> 2o )
42 nnpredcl 4504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  k  e.  om  ->  U.
suc  k  e.  om )
4337, 42syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  U. suc  k  e.  om )
4441, 43ffvelrnd 5522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  U. suc  k
)  e.  2o )
45 nndceq0 4499 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  k  e.  om  -> DECID  suc  k  =  (/) )
4637, 45syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  -> DECID  suc  k  =  (/) )
4739, 44, 46ifcldcd 3475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) )  e.  2o )
4830, 35, 37, 47fvmptd 5468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `  U. suc  k ) ) )
49 peano3 4478 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  =/=  (/) )
5049adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  suc  k  =/=  (/) )
5150neneqd 2304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  -.  suc  k  =  (/) )
5251iffalsed 3452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( x `
 U. suc  k
) )  =  ( x `  U. suc  k ) )
53 nnord 4493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
54 ordtr 4268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  k  ->  Tr  k
)
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  Tr  k )
56 unisucg 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  ( Tr  k  <->  U. suc  k  =  k ) )
5755, 56mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  om  ->  U. suc  k  =  k )
5857fveq2d 5391 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  (
x `  U. suc  k
)  =  ( x `
 k ) )
5958adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  U. suc  k
)  =  ( x `
 k ) )
6048, 52, 593eqtrd 2152 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  x
) `  suc  k )  =  ( x `  k ) )
61 fveq1 5386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  y  ->  (
p `  U. i )  =  ( y `  U. i ) )
6261ifeq2d 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  y  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) )
6362mpteq2dv 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. i ) ) ) )
6427mptex 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) )  e.  _V
6563, 1, 64fvmpt 5464 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ->  ( S `  y
)  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. i ) ) ) )
6665ad3antlr 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  ( S `  y )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( y `  U. i ) ) ) )
6733fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  -> 
( y `  U. i )  =  ( y `  U. suc  k ) )
6832, 67ifbieq2d 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  /\  i  =  suc  k )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. i ) )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) ) )
69 nninff 13009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ->  y : om --> 2o )
7069ad3antlr 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  y : om --> 2o )
7170, 43ffvelrnd 5522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
y `  U. suc  k
)  e.  2o )
7239, 71, 46ifcldcd 3475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) )  e.  2o )
7366, 68, 37, 72fvmptd 5468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  y
) `  suc  k )  =  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `  U. suc  k ) ) )
7451iffalsed 3452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  if ( suc  k  =  (/) ,  1o ,  ( y `
 U. suc  k
) )  =  ( y `  U. suc  k ) )
7557fveq2d 5391 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  (
y `  U. suc  k
)  =  ( y `
 k ) )
7675adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
y `  U. suc  k
)  =  ( y `
 k ) )
7773, 74, 763eqtrd 2152 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
( S `  y
) `  suc  k )  =  ( y `  k ) )
7823, 60, 773eqtr3d 2156 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  /\  k  e.  om )  ->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) )
7912, 21, 78eqfnfvd 5487 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  /\  y  e. )  /\  ( S `
 x )  =  ( S `  y
) )  ->  x  =  y )
8079ex 114 . . 3  |-  ( ( x  e.  /\  y  e. )  ->  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) )
8180rgen2a 2461 . 2  |-  A. x  e.  A. y  e.  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y )
82 dff13 5635 . 2  |-  ( S : -1-1->  <->  ( S : -->  /\  A. x  e.  A. y  e.  ( ( S `  x )  =  ( S `  y )  ->  x  =  y ) ) )
832, 81, 82mpbir2an 909 1  |-  S : -1-1->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391    C_ wss 3039   (/)c0 3331   ifcif 3442   U.cuni 3704    |-> cmpt 3957   Tr wtr 3994   Ord word 4252   suc csuc 4255   omcom 4472    Fn wfn 5086   -->wf 5087   -1-1->wf1 5088   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1oc1o 6272   2oc2o 6273    ^m cmap 6508  ℕxnninf 6971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973
This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  13028
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