Theorem peano4nninf 14758

Description: The successor function on ℕ_∞ is one to one. Half of Lemma 3.4 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano4nninf.s	|- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
peano4nninf	|- S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞

Distinct variable groups:   S, i   i, p

Allowed substitution hint:   S( p)

Proof of Theorem peano4nninf

Dummy variables k x y f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano4nninf.s	. . 3 |- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
2	1	nnsf 14757	. 2 |- S :ℕ∞ -->ℕ∞
3		fveq1 5515	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = x -> ( f ` suc j ) = ( x ` suc j ) )
4		fveq1 5515	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = x -> ( f ` j ) = ( x ` j ) )
5	3, 4	sseq12d 3187	. . . . . . . . . 10 |- ( f = x -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( x ` suc j ) C_ ( x ` j ) ) )
6	5	ralbidv 2477	. . . . . . . . 9 |- ( f = x -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( x ` suc j ) C_ ( x ` j ) ) )
7		df-nninf 7119	. . . . . . . . 9 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
8	6, 7	elrab2 2897	. . . . . . . 8 |- ( x e. ℕ∞ <-> ( x e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( x ` suc j ) C_ ( x ` j ) ) )
9	8	simplbi 274	. . . . . . 7 |- ( x e. ℕ∞ -> x e. ( 2o ^m om ) )
10		elmapfn 6671	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 2o ^m om ) -> x Fn om )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. ℕ∞ -> x Fn om )
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) -> x Fn om )
13		fveq1 5515	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = y -> ( f ` suc j ) = ( y ` suc j ) )
14		fveq1 5515	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = y -> ( f ` j ) = ( y ` j ) )
15	13, 14	sseq12d 3187	. . . . . . . . . 10 |- ( f = y -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( y ` suc j ) C_ ( y ` j ) ) )
16	15	ralbidv 2477	. . . . . . . . 9 |- ( f = y -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( y ` suc j ) C_ ( y ` j ) ) )
17	16, 7	elrab2 2897	. . . . . . . 8 |- ( y e. ℕ∞ <-> ( y e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( y ` suc j ) C_ ( y ` j ) ) )
18	17	simplbi 274	. . . . . . 7 |- ( y e. ℕ∞ -> y e. ( 2o ^m om ) )
19		elmapfn 6671	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 2o ^m om ) -> y Fn om )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( y e. ℕ∞ -> y Fn om )
21	20	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) -> y Fn om )
22		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( S ` x ) = ( S ` y ) )
23	22	fveq1d 5518	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` x ) ` suc k ) = ( ( S ` y ) ` suc k ) )
24		fveq1 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = x -> ( p ` U. i ) = ( x ` U. i ) )
25	24	ifeq2d 3553	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = x -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) = if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) )
26	25	mpteq2dv 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( p = x -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) ) )
27		omex 4593	. . . . . . . . . . 11 |- om e. _V
28	27	mptex 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) ) e. _V
29	26, 1, 28	fvmpt 5594	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ℕ∞ -> ( S ` x ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) ) )
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( S ` x ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) ) )
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> i = suc k )
32	31	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> ( i = (/) <-> suc k = (/) ) )
33	31	unieqd 3821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> U. i = U. suc k )
34	33	fveq2d 5520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> ( x ` U. i ) = ( x ` U. suc k ) )
35	32, 34	ifbieq2d 3559	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) = if ( suc k = (/) , 1o , ( x ` U. suc k ) ) )
36		peano2 4595	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> suc k e. om )
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> suc k e. om )
38		1lt2o 6443	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
39	38	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> 1o e. 2o )
40		nninff 7121	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ℕ∞ -> x : om --> 2o )
41	40	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> x : om --> 2o )
42		nnpredcl 4623	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc k e. om -> U. suc k e. om )
43	37, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> U. suc k e. om )
44	41, 43	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( x ` U. suc k ) e. 2o )
45		nndceq0 4618	. . . . . . . . . 10 |- ( suc k e. om -> DECID suc k = (/) )
46	37, 45	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> DECID suc k = (/) )
47	39, 44, 46	ifcldcd 3571	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> if ( suc k = (/) , 1o , ( x ` U. suc k ) ) e. 2o )
48	30, 35, 37, 47	fvmptd 5598	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` x ) ` suc k ) = if ( suc k = (/) , 1o , ( x ` U. suc k ) ) )
49		peano3 4596	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> suc k =/= (/) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> suc k =/= (/) )
51	50	neneqd 2368	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> -. suc k = (/) )
52	51	iffalsed 3545	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> if ( suc k = (/) , 1o , ( x ` U. suc k ) ) = ( x ` U. suc k ) )
53		nnord 4612	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> Ord k )
54		ordtr 4379	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord k -> Tr k )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> Tr k )
56		unisucg 4415	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> ( Tr k <-> U. suc k = k ) )
57	55, 56	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> U. suc k = k )
58	57	fveq2d 5520	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( x ` U. suc k ) = ( x ` k ) )
59	58	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( x ` U. suc k ) = ( x ` k ) )
60	48, 52, 59	3eqtrd 2214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` x ) ` suc k ) = ( x ` k ) )
61		fveq1 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = y -> ( p ` U. i ) = ( y ` U. i ) )
62	61	ifeq2d 3553	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = y -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) = if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) )
63	62	mpteq2dv 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( p = y -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) ) )
64	27	mptex 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) ) e. _V
65	63, 1, 64	fvmpt 5594	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ℕ∞ -> ( S ` y ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) ) )
66	65	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( S ` y ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) ) )
67	33	fveq2d 5520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> ( y ` U. i ) = ( y ` U. suc k ) )
68	32, 67	ifbieq2d 3559	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) = if ( suc k = (/) , 1o , ( y ` U. suc k ) ) )
69		nninff 7121	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> 2o )
70	69	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> y : om --> 2o )
71	70, 43	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` U. suc k ) e. 2o )
72	39, 71, 46	ifcldcd 3571	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> if ( suc k = (/) , 1o , ( y ` U. suc k ) ) e. 2o )
73	66, 68, 37, 72	fvmptd 5598	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` y ) ` suc k ) = if ( suc k = (/) , 1o , ( y ` U. suc k ) ) )
74	51	iffalsed 3545	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> if ( suc k = (/) , 1o , ( y ` U. suc k ) ) = ( y ` U. suc k ) )
75	57	fveq2d 5520	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( y ` U. suc k ) = ( y ` k ) )
76	75	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` U. suc k ) = ( y ` k ) )
77	73, 74, 76	3eqtrd 2214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` y ) ` suc k ) = ( y ` k ) )
78	23, 60, 77	3eqtr3d 2218	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( x ` k ) = ( y ` k ) )
79	12, 21, 78	eqfnfvd 5617	. . . 4 |- ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) -> x = y )
80	79	ex 115	. . 3 |- ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) -> ( ( S ` x ) = ( S ` y ) -> x = y ) )
81	80	rgen2a 2531	. 2 |- A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ ( ( S ` x ) = ( S ` y ) -> x = y )
82		dff13 5769	. 2 |- ( S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ <-> ( S :ℕ∞ -->ℕ∞ /\ A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ ( ( S ` x ) = ( S ` y ) -> x = y ) ) )
83	2, 81, 82	mpbir2an 942	1 |- S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   C_ wss 3130   (/)c0 3423   ifcif 3535   U.cuni 3810   |-> cmpt 4065   Tr wtr 4102   Ord word 4363   suc csuc 4366   omcom 4590   Fn wfn 5212   -->wf 5213   -1-1->wf1 5214   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411   ^m cmap 6648  ℕ_∞xnninf 7118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-nninf 7119

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  14773