Theorem peano4nninf 16115

Description: The successor function on ℕ_∞ is one to one. Half of Lemma 3.4 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano4nninf.s	|- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
peano4nninf	|- S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞

Distinct variable groups:   S, i   i, p

Allowed substitution hint:   S( p)

Proof of Theorem peano4nninf

Dummy variables k x y f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano4nninf.s	. . 3 |- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
2	1	nnsf 16114	. 2 |- S :ℕ∞ -->ℕ∞
3		fveq1 5593	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = x -> ( f ` suc j ) = ( x ` suc j ) )
4		fveq1 5593	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = x -> ( f ` j ) = ( x ` j ) )
5	3, 4	sseq12d 3228	. . . . . . . . . 10 |- ( f = x -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( x ` suc j ) C_ ( x ` j ) ) )
6	5	ralbidv 2507	. . . . . . . . 9 |- ( f = x -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( x ` suc j ) C_ ( x ` j ) ) )
7		df-nninf 7243	. . . . . . . . 9 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
8	6, 7	elrab2 2936	. . . . . . . 8 |- ( x e. ℕ∞ <-> ( x e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( x ` suc j ) C_ ( x ` j ) ) )
9	8	simplbi 274	. . . . . . 7 |- ( x e. ℕ∞ -> x e. ( 2o ^m om ) )
10		elmapfn 6776	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 2o ^m om ) -> x Fn om )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. ℕ∞ -> x Fn om )
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) -> x Fn om )
13		fveq1 5593	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = y -> ( f ` suc j ) = ( y ` suc j ) )
14		fveq1 5593	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = y -> ( f ` j ) = ( y ` j ) )
15	13, 14	sseq12d 3228	. . . . . . . . . 10 |- ( f = y -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( y ` suc j ) C_ ( y ` j ) ) )
16	15	ralbidv 2507	. . . . . . . . 9 |- ( f = y -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( y ` suc j ) C_ ( y ` j ) ) )
17	16, 7	elrab2 2936	. . . . . . . 8 |- ( y e. ℕ∞ <-> ( y e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( y ` suc j ) C_ ( y ` j ) ) )
18	17	simplbi 274	. . . . . . 7 |- ( y e. ℕ∞ -> y e. ( 2o ^m om ) )
19		elmapfn 6776	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 2o ^m om ) -> y Fn om )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( y e. ℕ∞ -> y Fn om )
21	20	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) -> y Fn om )
22		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( S ` x ) = ( S ` y ) )
23	22	fveq1d 5596	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` x ) ` suc k ) = ( ( S ` y ) ` suc k ) )
24		fveq1 5593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = x -> ( p ` U. i ) = ( x ` U. i ) )
25	24	ifeq2d 3594	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = x -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) = if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) )
26	25	mpteq2dv 4146	. . . . . . . . . 10 |- ( p = x -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) ) )
27		omex 4654	. . . . . . . . . . 11 |- om e. _V
28	27	mptex 5828	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) ) e. _V
29	26, 1, 28	fvmpt 5674	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ℕ∞ -> ( S ` x ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) ) )
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( S ` x ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) ) )
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> i = suc k )
32	31	eqeq1d 2215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> ( i = (/) <-> suc k = (/) ) )
33	31	unieqd 3870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> U. i = U. suc k )
34	33	fveq2d 5598	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> ( x ` U. i ) = ( x ` U. suc k ) )
35	32, 34	ifbieq2d 3600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> if ( i = (/) , 1o , ( x ` U. i ) ) = if ( suc k = (/) , 1o , ( x ` U. suc k ) ) )
36		peano2 4656	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> suc k e. om )
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> suc k e. om )
38		1lt2o 6546	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
39	38	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> 1o e. 2o )
40		nninff 7245	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ℕ∞ -> x : om --> 2o )
41	40	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> x : om --> 2o )
42		nnpredcl 4684	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc k e. om -> U. suc k e. om )
43	37, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> U. suc k e. om )
44	41, 43	ffvelcdmd 5734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( x ` U. suc k ) e. 2o )
45		nndceq0 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( suc k e. om -> DECID suc k = (/) )
46	37, 45	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> DECID suc k = (/) )
47	39, 44, 46	ifcldcd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> if ( suc k = (/) , 1o , ( x ` U. suc k ) ) e. 2o )
48	30, 35, 37, 47	fvmptd 5678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` x ) ` suc k ) = if ( suc k = (/) , 1o , ( x ` U. suc k ) ) )
49		peano3 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> suc k =/= (/) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> suc k =/= (/) )
51	50	neneqd 2398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> -. suc k = (/) )
52	51	iffalsed 3585	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> if ( suc k = (/) , 1o , ( x ` U. suc k ) ) = ( x ` U. suc k ) )
53		nnord 4673	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> Ord k )
54		ordtr 4438	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord k -> Tr k )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> Tr k )
56		unisucg 4474	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> ( Tr k <-> U. suc k = k ) )
57	55, 56	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> U. suc k = k )
58	57	fveq2d 5598	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( x ` U. suc k ) = ( x ` k ) )
59	58	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( x ` U. suc k ) = ( x ` k ) )
60	48, 52, 59	3eqtrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` x ) ` suc k ) = ( x ` k ) )
61		fveq1 5593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = y -> ( p ` U. i ) = ( y ` U. i ) )
62	61	ifeq2d 3594	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = y -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) = if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) )
63	62	mpteq2dv 4146	. . . . . . . . . 10 |- ( p = y -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) ) )
64	27	mptex 5828	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) ) e. _V
65	63, 1, 64	fvmpt 5674	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ℕ∞ -> ( S ` y ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) ) )
66	65	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( S ` y ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) ) )
67	33	fveq2d 5598	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> ( y ` U. i ) = ( y ` U. suc k ) )
68	32, 67	ifbieq2d 3600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) /\ i = suc k ) -> if ( i = (/) , 1o , ( y ` U. i ) ) = if ( suc k = (/) , 1o , ( y ` U. suc k ) ) )
69		nninff 7245	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> 2o )
70	69	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> y : om --> 2o )
71	70, 43	ffvelcdmd 5734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` U. suc k ) e. 2o )
72	39, 71, 46	ifcldcd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> if ( suc k = (/) , 1o , ( y ` U. suc k ) ) e. 2o )
73	66, 68, 37, 72	fvmptd 5678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` y ) ` suc k ) = if ( suc k = (/) , 1o , ( y ` U. suc k ) ) )
74	51	iffalsed 3585	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> if ( suc k = (/) , 1o , ( y ` U. suc k ) ) = ( y ` U. suc k ) )
75	57	fveq2d 5598	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( y ` U. suc k ) = ( y ` k ) )
76	75	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` U. suc k ) = ( y ` k ) )
77	73, 74, 76	3eqtrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( ( S ` y ) ` suc k ) = ( y ` k ) )
78	23, 60, 77	3eqtr3d 2247	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) /\ k e. om ) -> ( x ` k ) = ( y ` k ) )
79	12, 21, 78	eqfnfvd 5698	. . . 4 |- ( ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( S ` x ) = ( S ` y ) ) -> x = y )
80	79	ex 115	. . 3 |- ( ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) -> ( ( S ` x ) = ( S ` y ) -> x = y ) )
81	80	rgen2a 2561	. 2 |- A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ ( ( S ` x ) = ( S ` y ) -> x = y )
82		dff13 5855	. 2 |- ( S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ <-> ( S :ℕ∞ -->ℕ∞ /\ A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ ( ( S ` x ) = ( S ` y ) -> x = y ) ) )
83	2, 81, 82	mpbir2an 945	1 |- S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   A.wral 2485   C_ wss 3170   (/)c0 3464   ifcif 3575   U.cuni 3859   |-> cmpt 4116   Tr wtr 4153   Ord word 4422   suc csuc 4425   omcom 4651   Fn wfn 5280   -->wf 5281   -1-1->wf1 5282   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   1oc1o 6513   2oc2o 6514   ^m cmap 6753  ℕ_∞xnninf 7242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1o 6520  df-2o 6521  df-map 6755  df-nninf 7243

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  16133