Theorem ctmlemr 7085

Description: Lemma for ctm 7086. One of the directions of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctmlemr	|- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   x, f

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem ctmlemr

Dummy variables g n u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6419	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
2		djurcl 7029	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
5		simpllr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> f : om -onto-> A )
6		fof 5420	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : om -onto-> A -> f : om --> A )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> f : om --> A )
8		nnpredcl 4607	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> U. n e. om )
9	8	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> U. n e. om )
10	7, 9	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> ( f ` U. n ) e. A )
11		djulcl 7028	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` U. n ) e. A -> (inl ` ( f ` U. n ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> (inl ` ( f ` U. n ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
13		nndceq0 4602	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> DECID n = (/) )
14	13	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) -> DECID n = (/) )
15	4, 12, 14	ifcldadc 3555	. . . . . . 7 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
16	15	fmpttd 5651	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) )
17		simpllr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> f : om -onto-> A )
18		simprl 526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> w e. A )
19		foelrn 5732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -onto-> A /\ w e. A ) -> E. u e. om w = ( f ` u ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> E. u e. om w = ( f ` u ) )
21		peano2 4579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. om -> suc u e. om )
22	21	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> suc u e. om )
23		simplrr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = (inl ` w ) )
24		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> u e. om )
25		nnord 4596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. om -> Ord u )
26		ordtr 4363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord u -> Tr u )
27	24, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> Tr u )
28		unisucg 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. om -> ( Tr u <-> U. suc u = u ) )
29	28	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( Tr u <-> U. suc u = u ) )
30	27, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> U. suc u = u )
31	30	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( f ` U. suc u ) = ( f ` u ) )
32		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> w = ( f ` u ) )
33	31, 32	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( f ` U. suc u ) = w )
34	33	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> (inl ` ( f ` U. suc u ) ) = (inl ` w ) )
35	23, 34	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
36		peano3 4580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. om -> suc u =/= (/) )
37	36	neneqd 2361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. om -> -. suc u = (/) )
38	37	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> -. suc u = (/) )
39	38	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
40	35, 39	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
41		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) = ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) )
42		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = suc u -> ( n = (/) <-> suc u = (/) ) )
43		unieq 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = suc u -> U. n = U. suc u )
44	43	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = suc u -> ( f ` U. n ) = ( f ` U. suc u ) )
45	44	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = suc u -> (inl ` ( f ` U. n ) ) = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
46	42, 45	ifbieq2d 3550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = suc u -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
47		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y e. ( A ⊔ 1o ) )
48	40, 47	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
49	41, 46, 22, 48	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
50	40, 49	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) )
51		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = suc u -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) )
52	51	rspceeqv 2852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc u e. om /\ y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
53	22, 50, 52	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
54	20, 53	rexlimddv 2592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
55	54	rexlimdvaa 2588	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
56		peano1 4578	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
57		simprr 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = (inr ` w ) )
58		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> w e. 1o )
59		el1o 6416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. 1o <-> w = (/) )
60	58, 59	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> w = (/) )
61	60	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> (inr ` w ) = (inr ` (/) ) )
62	57, 61	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = (inr ` (/) ) )
63		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) = (/)
64	63	iftruei 3532	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) = (inr ` (/) )
65	62, 64	eqtr4di 2221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
66	64, 3	eqeltri 2243	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o )
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
68		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = (/) -> ( n = (/) <-> (/) = (/) ) )
69		unieq 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = (/) -> U. n = U. (/) )
70	69	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = (/) -> ( f ` U. n ) = ( f ` U. (/) ) )
71	70	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = (/) -> (inl ` ( f ` U. n ) ) = (inl ` ( f ` U. (/) ) ) )
72	68, 71	ifbieq2d 3550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = (/) -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
73	72, 41	fvmptg 5572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. om /\ if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
74	56, 67, 73	sylancr 412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
75	65, 74	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) )
76		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) )
77	76	rspceeqv 2852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. om /\ y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
78	56, 75, 77	sylancr 412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
79	78	rexlimdvaa 2588	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. 1o y = (inr ` w ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
80		djur 7046	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A ⊔ 1o ) <-> ( E. w e. A y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
81	80	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( A ⊔ 1o ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
82	81	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
83	55, 79, 82	mpjaod 713	. . . . . . 7 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
84	83	ralrimiva 2543	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> A. y e. ( A ⊔ 1o ) E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
85		dffo3 5643	. . . . . 6 |- ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) /\ A. y e. ( A ⊔ 1o ) E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
86	16, 84, 85	sylanbrc 415	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
87		omex 4577	. . . . . . 7 |- om e. _V
88	87	mptex 5722	. . . . . 6 |- ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) e. _V
89		foeq1 5416	. . . . . 6 |- ( g = ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
90	88, 89	spcev 2825	. . . . 5 |- ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
91	86, 90	syl 14	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
92	91	ex 114	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( f : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
93	92	exlimdv 1812	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
94		foeq1 5416	. . 3 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
95	94	cbvexv 1911	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
96	93, 95	syl6ibr 161	1 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   (/)c0 3414   ifcif 3526   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   Tr wtr 4087   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198   1oc1o 6388   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025

This theorem is referenced by:  ctm  7086