Theorem ctmlemr 7073

Description: Lemma for ctm 7074. One of the directions of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctmlemr	|- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   x, f

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem ctmlemr

Dummy variables g n u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6408	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
2		djurcl 7017	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
5		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> f : om -onto-> A )
6		fof 5410	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : om -onto-> A -> f : om --> A )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> f : om --> A )
8		nnpredcl 4600	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> U. n e. om )
9	8	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> U. n e. om )
10	7, 9	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> ( f ` U. n ) e. A )
11		djulcl 7016	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` U. n ) e. A -> (inl ` ( f ` U. n ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> (inl ` ( f ` U. n ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
13		nndceq0 4595	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> DECID n = (/) )
14	13	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) -> DECID n = (/) )
15	4, 12, 14	ifcldadc 3549	. . . . . . 7 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
16	15	fmpttd 5640	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) )
17		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> f : om -onto-> A )
18		simprl 521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> w e. A )
19		foelrn 5721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -onto-> A /\ w e. A ) -> E. u e. om w = ( f ` u ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> E. u e. om w = ( f ` u ) )
21		peano2 4572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. om -> suc u e. om )
22	21	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> suc u e. om )
23		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = (inl ` w ) )
24		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> u e. om )
25		nnord 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. om -> Ord u )
26		ordtr 4356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord u -> Tr u )
27	24, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> Tr u )
28		unisucg 4392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. om -> ( Tr u <-> U. suc u = u ) )
29	28	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( Tr u <-> U. suc u = u ) )
30	27, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> U. suc u = u )
31	30	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( f ` U. suc u ) = ( f ` u ) )
32		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> w = ( f ` u ) )
33	31, 32	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( f ` U. suc u ) = w )
34	33	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> (inl ` ( f ` U. suc u ) ) = (inl ` w ) )
35	23, 34	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
36		peano3 4573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. om -> suc u =/= (/) )
37	36	neneqd 2357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. om -> -. suc u = (/) )
38	37	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> -. suc u = (/) )
39	38	iffalsed 3530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
40	35, 39	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
41		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) = ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) )
42		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = suc u -> ( n = (/) <-> suc u = (/) ) )
43		unieq 3798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = suc u -> U. n = U. suc u )
44	43	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = suc u -> ( f ` U. n ) = ( f ` U. suc u ) )
45	44	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = suc u -> (inl ` ( f ` U. n ) ) = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
46	42, 45	ifbieq2d 3544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = suc u -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
47		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y e. ( A ⊔ 1o ) )
48	40, 47	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
49	41, 46, 22, 48	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
50	40, 49	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) )
51		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = suc u -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) )
52	51	rspceeqv 2848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc u e. om /\ y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
53	22, 50, 52	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
54	20, 53	rexlimddv 2588	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
55	54	rexlimdvaa 2584	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
56		peano1 4571	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
57		simprr 522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = (inr ` w ) )
58		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> w e. 1o )
59		el1o 6405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. 1o <-> w = (/) )
60	58, 59	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> w = (/) )
61	60	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> (inr ` w ) = (inr ` (/) ) )
62	57, 61	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = (inr ` (/) ) )
63		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) = (/)
64	63	iftruei 3526	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) = (inr ` (/) )
65	62, 64	eqtr4di 2217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
66	64, 3	eqeltri 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o )
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
68		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = (/) -> ( n = (/) <-> (/) = (/) ) )
69		unieq 3798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = (/) -> U. n = U. (/) )
70	69	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = (/) -> ( f ` U. n ) = ( f ` U. (/) ) )
71	70	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = (/) -> (inl ` ( f ` U. n ) ) = (inl ` ( f ` U. (/) ) ) )
72	68, 71	ifbieq2d 3544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = (/) -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
73	72, 41	fvmptg 5562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. om /\ if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
74	56, 67, 73	sylancr 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
75	65, 74	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) )
76		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) )
77	76	rspceeqv 2848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. om /\ y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
78	56, 75, 77	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
79	78	rexlimdvaa 2584	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. 1o y = (inr ` w ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
80		djur 7034	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A ⊔ 1o ) <-> ( E. w e. A y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
81	80	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( A ⊔ 1o ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
82	81	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
83	55, 79, 82	mpjaod 708	. . . . . . 7 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
84	83	ralrimiva 2539	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> A. y e. ( A ⊔ 1o ) E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
85		dffo3 5632	. . . . . 6 |- ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) /\ A. y e. ( A ⊔ 1o ) E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
86	16, 84, 85	sylanbrc 414	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
87		omex 4570	. . . . . . 7 |- om e. _V
88	87	mptex 5711	. . . . . 6 |- ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) e. _V
89		foeq1 5406	. . . . . 6 |- ( g = ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
90	88, 89	spcev 2821	. . . . 5 |- ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
91	86, 90	syl 14	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
92	91	ex 114	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( f : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
93	92	exlimdv 1807	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
94		foeq1 5406	. . 3 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
95	94	cbvexv 1906	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
96	93, 95	syl6ibr 161	1 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   (/)c0 3409   ifcif 3520   U.cuni 3789   |-> cmpt 4043   Tr wtr 4080   Ord word 4340   suc csuc 4343   omcom 4567   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ⊔ cdju 7002  inlcinl 7010  inrcinr 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013

This theorem is referenced by:  ctm  7074