Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 0lt1o 6345 |
. . . . . . . . . 10
![1o 1o](_1o.gif) |
2 | | djurcl 6945 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif)
inr![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![( (](lp.gif) ⊔
![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
3 | 1, 2 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
inr![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![( (](lp.gif) ⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | 3 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![om om](omega.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) inr![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![( (](lp.gif) ⊔
![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
5 | | simpllr 524 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![om om](omega.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | | fof 5353 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![f
f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![om om](omega.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | | nnpredcl 4544 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | 8 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![om om](omega.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif)
![U. U.](bigcup.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | 7, 9 | ffvelrnd 5564 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![om om](omega.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![n n](_n.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | | djulcl 6944 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![n n](_n.gif) inl![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![n n](_n.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | 10, 11 | syl 14 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![om om](omega.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif)
inl![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![n n](_n.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ⊔
![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
13 | | nndceq0 4539 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif)
DECID
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | 13 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![om om](omega.gif)
DECID
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | 4, 12, 14 | ifcldadc 3506 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![om om](omega.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) inr![`
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`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![n n](_n.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
16 | 15 | fmpttd 5583 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) inr![`
`](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) inl![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![n n](_n.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif)
⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
17 | | simpllr 524 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif)
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18 | | simprl 521 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif)
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19 | | foelrn 5662 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif)
![A A](_ca.gif)
![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![u u](_u.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
20 | 17, 18, 19 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif)
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![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![u u](_u.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
21 | | peano2 4517 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 21 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif)
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![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | | simplrr 526 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif)
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24 | | simprl 521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif)
⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) inl![`
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25 | | nnord 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![u u](_u.gif) ![) )](rp.gif) |
26 | | ordtr 4308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif)
![u u](_u.gif) ![)
)](rp.gif) |
27 | 24, 25, 26 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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![u u](_u.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | | unisucg 4344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![U. U.](bigcup.gif) ![u u](_u.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | 28 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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30 | 27, 29 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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31 | 30 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
32 | | simprr 522 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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33 | 31, 32 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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34 | 33 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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)](rp.gif) inl![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | 23, 34 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif)
⊔ ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) inl![`
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`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![u u](_u.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | | peano3 4518 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | 36 | neneqd 2330 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 37 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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39 | 38 | iffalsed 3489 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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40 | 35, 39 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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41 | | eqid 2140 |
. . . . . . . . . . . . 13
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42 | | eqeq1 2147 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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43 | | unieq 3753 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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44 | 43 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![(
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45 | 44 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) inl![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![n n](_n.gif) ![) )](rp.gif) inl![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![f
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46 | 42, 45 | ifbieq2d 3501 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) inr![`
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47 | | simpllr 524 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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48 | 40, 47 | eqeltrrd 2218 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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49 | 41, 46, 22, 48 | fvmptd3 5522 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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50 | 40, 49 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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51 | | fveq2 5429 |
. . . . . . . . . . . 12
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52 | 51 | rspceeqv 2811 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 22, 50, 52 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif)
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54 | 20, 53 | rexlimddv 2557 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
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55 | 54 | rexlimdvaa 2553 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ⊔
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56 | | peano1 4516 |
. . . . . . . . . 10
![om om](omega.gif) |
57 | | simprr 522 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
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58 | | simprl 521 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
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59 | | el1o 6342 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
60 | 58, 59 | sylib 121 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
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61 | 60 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
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62 | 57, 61 | eqtrd 2173 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
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`](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
63 | | eqid 2140 |
. . . . . . . . . . . . 13
![(/) (/)](varnothing.gif) |
64 | 63 | iftruei 3485 |
. . . . . . . . . . . 12
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65 | 62, 64 | eqtr4di 2191 |
. . . . . . . . . . 11
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66 | 64, 3 | eqeltri 2213 |
. . . . . . . . . . . . 13
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67 | 66 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . 12
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68 | | eqeq1 2147 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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70 | 69 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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71 | 70 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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72 | 68, 71 | ifbieq2d 3501 |
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73 | 72, 41 | fvmptg 5505 |
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74 | 56, 67, 73 | sylancr 411 |
. . . . . . . . . . 11
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75 | 65, 74 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . . 10
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76 | | fveq2 5429 |
. . . . . . . . . . 11
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77 | 76 | rspceeqv 2811 |
. . . . . . . . . 10
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78 | 56, 75, 77 | sylancr 411 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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. . . . . 6
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. . . . . 6
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86 | 16, 84, 85 | sylanbrc 414 |
. . . . 5
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87 | | omex 4515 |
. . . . . . 7
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88 | 87 | mptex 5654 |
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89 | | foeq1 5349 |
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90 | 88, 89 | spcev 2784 |
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91 | 86, 90 | syl 14 |
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