Theorem ctmlemr 6870

Description: Lemma for ctm 6871. One of the directions of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctmlemr	|- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   x, f

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem ctmlemr

Dummy variables g n u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6242	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
2		djurcl 6824	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
5		simpllr 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> f : om -onto-> A )
6		fof 5268	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : om -onto-> A -> f : om --> A )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> f : om --> A )
8		nnpredcl 4464	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> U. n e. om )
9	8	ad2antlr 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> U. n e. om )
10	7, 9	ffvelrnd 5474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> ( f ` U. n ) e. A )
11		djulcl 6823	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` U. n ) e. A -> (inl ` ( f ` U. n ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) /\ -. n = (/) ) -> (inl ` ( f ` U. n ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
13		nndceq0 4459	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> DECID n = (/) )
14	13	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) -> DECID n = (/) )
15	4, 12, 14	ifcldadc 3440	. . . . . . 7 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ n e. om ) -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
16	15	fmpttd 5492	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) )
17		simpllr 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> f : om -onto-> A )
18		simprl 499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> w e. A )
19		foelrn 5570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -onto-> A /\ w e. A ) -> E. u e. om w = ( f ` u ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> E. u e. om w = ( f ` u ) )
21		peano2 4438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. om -> suc u e. om )
22	21	ad2antrl 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> suc u e. om )
23		simplrr 504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = (inl ` w ) )
24		simprl 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> u e. om )
25		nnord 4454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. om -> Ord u )
26		ordtr 4229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord u -> Tr u )
27	24, 25, 26	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> Tr u )
28		unisucg 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. om -> ( Tr u <-> U. suc u = u ) )
29	28	ad2antrl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( Tr u <-> U. suc u = u ) )
30	27, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> U. suc u = u )
31	30	fveq2d 5344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( f ` U. suc u ) = ( f ` u ) )
32		simprr 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> w = ( f ` u ) )
33	31, 32	eqtr4d 2130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( f ` U. suc u ) = w )
34	33	fveq2d 5344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> (inl ` ( f ` U. suc u ) ) = (inl ` w ) )
35	23, 34	eqtr4d 2130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
36		peano3 4439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. om -> suc u =/= (/) )
37	36	neneqd 2283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. om -> -. suc u = (/) )
38	37	ad2antrl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> -. suc u = (/) )
39	38	iffalsed 3423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
40	35, 39	eqtr4d 2130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
41		simpllr 502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y e. ( A ⊔ 1o ) )
42	40, 41	eqeltrrd 2172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
43		eqeq1 2101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = suc u -> ( n = (/) <-> suc u = (/) ) )
44		unieq 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = suc u -> U. n = U. suc u )
45	44	fveq2d 5344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = suc u -> ( f ` U. n ) = ( f ` U. suc u ) )
46	45	fveq2d 5344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = suc u -> (inl ` ( f ` U. n ) ) = (inl ` ( f ` U. suc u ) ) )
47	43, 46	ifbieq2d 3435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = suc u -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
48		eqid 2095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) = ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) )
49	47, 48	fvmptg 5415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( suc u e. om /\ if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
50	22, 42, 49	syl2anc 404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) = if ( suc u = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. suc u ) ) ) )
51	40, 50	eqtr4d 2130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) )
52		fveq2 5340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = suc u -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) )
53	52	rspceeqv 2753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc u e. om /\ y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` suc u ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
54	22, 51, 53	syl2anc 404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) /\ ( u e. om /\ w = ( f ` u ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
55	20, 54	rexlimddv 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. A /\ y = (inl ` w ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
56	55	rexlimdvaa 2503	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
57		peano1 4437	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
58		simprr 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = (inr ` w ) )
59		simprl 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> w e. 1o )
60		el1o 6239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. 1o <-> w = (/) )
61	59, 60	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> w = (/) )
62	61	fveq2d 5344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> (inr ` w ) = (inr ` (/) ) )
63	58, 62	eqtrd 2127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = (inr ` (/) ) )
64		eqid 2095	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) = (/)
65	64	iftruei 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) = (inr ` (/) )
66	63, 65	syl6eqr 2145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
67	65, 3	eqeltri 2167	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o )
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
69		eqeq1 2101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = (/) -> ( n = (/) <-> (/) = (/) ) )
70		unieq 3684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = (/) -> U. n = U. (/) )
71	70	fveq2d 5344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = (/) -> ( f ` U. n ) = ( f ` U. (/) ) )
72	71	fveq2d 5344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = (/) -> (inl ` ( f ` U. n ) ) = (inl ` ( f ` U. (/) ) ) )
73	69, 72	ifbieq2d 3435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = (/) -> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
74	73, 48	fvmptg 5415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. om /\ if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
75	57, 68, 74	sylancr 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. (/) ) ) ) )
76	66, 75	eqtr4d 2130	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) )
77		fveq2 5340	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) )
78	77	rspceeqv 2753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. om /\ y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` (/) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
79	57, 76, 78	sylancr 406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ ( w e. 1o /\ y = (inr ` w ) ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
80	79	rexlimdvaa 2503	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. 1o y = (inr ` w ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
81		djur 6837	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( A ⊔ 1o ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
82	81	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. w e. A y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
83	56, 80, 82	mpjaod 676	. . . . . . 7 |- ( ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) /\ y e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
84	83	ralrimiva 2458	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> A. y e. ( A ⊔ 1o ) E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) )
85		dffo3 5485	. . . . . 6 |- ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) /\ A. y e. ( A ⊔ 1o ) E. z e. om y = ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) ` z ) ) )
86	16, 84, 85	sylanbrc 409	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
87		omex 4436	. . . . . . 7 |- om e. _V
88	87	mptex 5562	. . . . . 6 |- ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) e. _V
89		foeq1 5264	. . . . . 6 |- ( g = ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
90	88, 89	spcev 2727	. . . . 5 |- ( ( n e. om |-> if ( n = (/) , (inr ` (/) ) , (inl ` ( f ` U. n ) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
91	86, 90	syl 14	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ f : om -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
92	91	ex 114	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( f : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
93	92	exlimdv 1754	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
94		foeq1 5264	. . 3 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
95	94	cbvexv 1850	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
96	93, 95	syl6ibr 161	1 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 667  DECID wdc 783   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   (/)c0 3302   ifcif 3413   U.cuni 3675   |-> cmpt 3921   Tr wtr 3958   Ord word 4213   suc csuc 4216   omcom 4433   -->wf 5045   -onto->wfo 5047   ` cfv 5049   1oc1o 6212   ⊔ cdju 6810  inlcinl 6817  inrcinr 6818

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-1o 6219  df-dju 6811  df-inl 6819  df-inr 6820

This theorem is referenced by:  ctm  6871