Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsf Unicode version

Theorem nnsf 13095
Description: Domain and range of  S. Part of Definition 3.3 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nns.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nnsf  |-  S : -->
Distinct variable group:    i, p
Allowed substitution hints:    S( i, p)

Proof of Theorem nnsf
Dummy variables  f  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nns.s . 2  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
2 1lt2o 6307 . . . . . . 7  |-  1o  e.  2o
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
4 nninff 13094 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ->  p : om --> 2o )
54adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  p : om --> 2o )
6 nnpredcl 4506 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  om  ->  U. i  e.  om )
76adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  U. i  e.  om )
85, 7ffvelrnd 5524 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  ( p `  U. i )  e.  2o )
9 nndceq0 4501 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  om  -> DECID  i  =  (/) )
109adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  -> DECID 
i  =  (/) )
113, 8, 10ifcldcd 3477 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) )  e.  2o )
12 eqid 2117 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )
1311, 12fmptd 5542 . . . 4  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) : om --> 2o )
14 2onn 6385 . . . . 5  |-  2o  e.  om
15 omex 4477 . . . . 5  |-  om  e.  _V
16 elmapg 6523 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  om  e.  _V )  -> 
( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) : om --> 2o ) )
1714, 15, 16mp2an 422 . . . 4  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) : om --> 2o )
1813, 17sylibr 133 . . 3  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )
)
19 1on 6288 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
2019ontrci 4319 . . . . . . . 8  |-  Tr  1o
212a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
224adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  p : om --> 2o )
23 peano2 4479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
2423adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e.  om )
25 nnpredcl 4506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  j  e.  om  ->  U.
suc  j  e.  om )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  U. suc  j  e. 
om )
2722, 26ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( p `  U. suc  j )  e.  2o )
28 nndceq0 4501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  j  e.  om  -> DECID  suc  j  =  (/) )
2924, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  -> DECID  suc  j  =  (/) )
3021, 27, 29ifcldcd 3477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )
3130adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )
32 df-2o 6282 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  suc  1o
3331, 32eleqtrdi 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  suc  1o )
34 trsucss 4315 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  1o  ->  ( if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  e.  suc  1o 
->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) )  C_  1o ) )
3520, 33, 34mpsyl 65 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  1o )
36 iftrue 3449 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  (/)  ->  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) )  =  1o )
3736adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) )  =  1o )
3835, 37sseqtrrd 3106 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) ) )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
4039adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  j  e. 
om )
41 nnord 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  Ord  j )
42 ordtr 4270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  j  ->  Tr  j
)
4340, 41, 423syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  Tr  j
)
44 unisucg 4306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  ( Tr  j  <->  U. suc  j  =  j ) )
4540, 44syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( Tr  j  <->  U. suc  j  =  j ) )
4643, 45mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  U. suc  j  =  j )
4746fveq2d 5393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 U. suc  j
)  =  ( p `
 j ) )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  -.  j  =  (/) )
4948neqned 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  j  =/=  (/) )
50 nnsucpred 4500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  om  /\  j  =/=  (/) )  ->  suc  U. j  =  j )
5140, 49, 50syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  suc  U. j  =  j )
5251fveq2d 5393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 suc  U. j
)  =  ( p `
 j ) )
53 suceq 4294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  U. j  ->  suc  k  =  suc  U. j )
5453fveq2d 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U. j  -> 
( p `  suc  k )  =  ( p `  suc  U. j ) )
55 fveq2 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U. j  -> 
( p `  k
)  =  ( p `
 U. j ) )
5654, 55sseq12d 3098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U. j  -> 
( ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )  <->  ( p `  suc  U. j )  C_  (
p `  U. j ) ) )
57 fveq1 5388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  p  ->  (
f `  suc  j )  =  ( p `  suc  j ) )
58 fveq1 5388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  p  ->  (
f `  j )  =  ( p `  j ) )
5957, 58sseq12d 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  p  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( p `  suc  j
)  C_  ( p `  j ) ) )
6059ralbidv 2414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  p  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j ) ) )
61 df-nninf 6975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
6260, 61elrab2 2816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  <->  ( p  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j ) ) )
6362simprbi 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ->  A. j  e.  om  ( p `  suc  j )  C_  (
p `  j )
)
64 suceq 4294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  suc  j  =  suc  k )
6564fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
p `  suc  j )  =  ( p `  suc  k ) )
66 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
p `  j )  =  ( p `  k ) )
6765, 66sseq12d 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
( p `  suc  j )  C_  (
p `  j )  <->  ( p `  suc  k
)  C_  ( p `  k ) ) )
6867cbvralv 2631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j )  <->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
6963, 68sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
7069ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
71 nnpredcl 4506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  om  ->  U. j  e.  om )
7271adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  U. j  e.  om )
7372adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  U. j  e.  om )
7456, 70, 73rspcdva 2768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 suc  U. j
)  C_  ( p `  U. j ) )
7552, 74eqsstrrd 3104 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 j )  C_  ( p `  U. j ) )
7647, 75eqsstrd 3103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 U. suc  j
)  C_  ( p `  U. j ) )
77 peano3 4480 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  =/=  (/) )
7877neneqd 2306 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  om  ->  -.  suc  j  =  (/) )
7978ad2antlr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  -.  suc  j  =  (/) )
8079iffalsed 3454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  =  ( p `  U. suc  j ) )
8148iffalsed 3454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) )  =  ( p `  U. j ) )
8276, 80, 813sstr4d 3112 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  C_  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. j ) ) )
83 nndceq0 4501 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  -> DECID  j  =  (/) )
8483adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  -> DECID 
j  =  (/) )
85 exmiddc 806 . . . . . . 7  |-  (DECID  j  =  (/)  ->  ( j  =  (/)  \/  -.  j  =  (/) ) )
8684, 85syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( j  =  (/)  \/  -.  j  =  (/) ) )
8738, 82, 86mpjaodan 772 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) ) )
88 eqeq1 2124 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( i  =  (/)  <->  suc  j  =  (/) ) )
89 unieq 3715 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  ->  U. i  =  U. suc  j )
9089fveq2d 5393 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( p `  U. i )  =  ( p `  U. suc  j ) )
9188, 90ifbieq2d 3466 . . . . . . 7  |-  ( i  =  suc  j  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) ) )
9291, 12fvmptg 5465 . . . . . 6  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) )
9324, 30, 92syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) ) )
9422, 72ffvelrnd 5524 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( p `  U. j )  e.  2o )
9521, 94, 84ifcldcd 3477 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) )  e.  2o )
96 eqeq1 2124 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
i  =  (/)  <->  j  =  (/) ) )
97 unieq 3715 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  U. i  =  U. j )
9897fveq2d 5393 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  U. i )  =  ( p `  U. j ) )
9996, 98ifbieq2d 3466 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) ) )
10099, 12fvmptg 5465 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. j ) )  e.  2o )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 j )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j
) ) )
10139, 95, 100syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 j )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j
) ) )
10287, 93, 1013sstr4d 3112 . . . 4  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) )
103102ralrimiva 2482 . . 3  |-  ( p  e.  ->  A. j  e.  om  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) )
104 fveq1 5388 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( f `  suc  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j ) )
105 fveq1 5388 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( f `  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  j
) )
106104, 105sseq12d 3098 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( ( f `
 suc  j )  C_  ( f `  j
)  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) ) )
107106ralbidv 2414 . . . 4  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j )  C_  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  j
) ) )
108107, 61elrab2 2816 . . 3  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  <-> 
( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) ) )
10918, 103, 108sylanbrc 413 . 2  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e. )
1101, 109fmpti 5540 1  |-  S : -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   A.wral 2393   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   (/)c0 3333   ifcif 3444   U.cuni 3706    |-> cmpt 3959   Tr wtr 3996   Ord word 4254   suc csuc 4257   omcom 4474   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   1oc1o 6274   2oc2o 6275    ^m cmap 6510  ℕxnninf 6973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1o 6281  df-2o 6282  df-map 6512  df-nninf 6975
This theorem is referenced by:  peano4nninf  13096
  Copyright terms: Public domain W3C validator