Theorem nnsf 15495

Description: Domain and range of S. Part of Definition 3.3 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nns.s	|- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nnsf	|- S :ℕ∞ -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, p

Allowed substitution hints:   S( i, p)

Proof of Theorem nnsf

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nns.s	. 2 |- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
2		1lt2o 6495	. . . . . . 7 |- 1o e. 2o
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
4		nninff 7181	. . . . . . . 8 |- ( p e. ℕ∞ -> p : om --> 2o )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> p : om --> 2o )
6		nnpredcl 4655	. . . . . . . 8 |- ( i e. om -> U. i e. om )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> U. i e. om )
8	5, 7	ffvelcdmd 5694	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> ( p ` U. i ) e. 2o )
9		nndceq0 4650	. . . . . . 7 |- ( i e. om -> DECID i = (/) )
10	9	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> DECID i = (/) )
11	3, 8, 10	ifcldcd 3593	. . . . 5 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) e. 2o )
12		eqid 2193	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) )
13	11, 12	fmptd 5712	. . . 4 |- ( p e. ℕ∞ -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) : om --> 2o )
14		2onn 6574	. . . . 5 |- 2o e. om
15		omex 4625	. . . . 5 |- om e. _V
16		elmapg 6715	. . . . 5 |- ( ( 2o e. om /\ om e. _V ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) : om --> 2o ) )
17	14, 15, 16	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) : om --> 2o )
18	13, 17	sylibr 134	. . 3 |- ( p e. ℕ∞ -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
19		1on 6476	. . . . . . . . 9 |- 1o e. On
20	19	ontrci 4458	. . . . . . . 8 |- Tr 1o
21	2	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
22	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> p : om --> 2o )
23		peano2 4627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> suc j e. om )
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> suc j e. om )
25		nnpredcl 4655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. om -> U. suc j e. om )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> U. suc j e. om )
27	22, 26	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( p ` U. suc j ) e. 2o )
28		nndceq0 4650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc j e. om -> DECID suc j = (/) )
29	24, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> DECID suc j = (/) )
30	21, 27, 29	ifcldcd 3593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. 2o )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. 2o )
32		df-2o 6470	. . . . . . . . 9 |- 2o = suc 1o
33	31, 32	eleqtrdi 2286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. suc 1o )
34		trsucss 4454	. . . . . . . 8 |- ( Tr 1o -> ( if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. suc 1o -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ 1o ) )
35	20, 33, 34	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ 1o )
36		iftrue 3562	. . . . . . . 8 |- ( j = (/) -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = 1o )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = 1o )
38	35, 37	sseqtrrd 3218	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> j e. om )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> j e. om )
41		nnord 4644	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> Ord j )
42		ordtr 4409	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord j -> Tr j )
43	40, 41, 42	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> Tr j )
44		unisucg 4445	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> ( Tr j <-> U. suc j = j ) )
45	40, 44	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( Tr j <-> U. suc j = j ) )
46	43, 45	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> U. suc j = j )
47	46	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` U. suc j ) = ( p ` j ) )
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> -. j = (/) )
49	48	neqned 2371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> j =/= (/) )
50		nnsucpred 4649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. om /\ j =/= (/) ) -> suc U. j = j )
51	40, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> suc U. j = j )
52	51	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` suc U. j ) = ( p ` j ) )
53		suceq 4433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = U. j -> suc k = suc U. j )
54	53	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U. j -> ( p ` suc k ) = ( p ` suc U. j ) )
55		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U. j -> ( p ` k ) = ( p ` U. j ) )
56	54, 55	sseq12d 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( k = U. j -> ( ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) <-> ( p ` suc U. j ) C_ ( p ` U. j ) ) )
57		fveq1 5553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = p -> ( f ` suc j ) = ( p ` suc j ) )
58		fveq1 5553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = p -> ( f ` j ) = ( p ` j ) )
59	57, 58	sseq12d 3210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = p -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) ) )
60	59	ralbidv 2494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = p -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) ) )
61		df-nninf 7179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
62	60, 61	elrab2 2919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ℕ∞ <-> ( p e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) ) )
63	62	simprbi 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ℕ∞ -> A. j e. om ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) )
64		suceq 4433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> suc j = suc k )
65	64	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( p ` suc j ) = ( p ` suc k ) )
66		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( p ` j ) = ( p ` k ) )
67	65, 66	sseq12d 3210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) <-> ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) ) )
68	67	cbvralv 2726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. j e. om ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) <-> A. k e. om ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) )
69	63, 68	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ℕ∞ -> A. k e. om ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) )
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> A. k e. om ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) )
71		nnpredcl 4655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. om -> U. j e. om )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> U. j e. om )
73	72	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> U. j e. om )
74	56, 70, 73	rspcdva 2869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` suc U. j ) C_ ( p ` U. j ) )
75	52, 74	eqsstrrd 3216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` j ) C_ ( p ` U. j ) )
76	47, 75	eqsstrd 3215	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` U. suc j ) C_ ( p ` U. j ) )
77		peano3 4628	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. om -> suc j =/= (/) )
78	77	neneqd 2385	. . . . . . . . 9 |- ( j e. om -> -. suc j = (/) )
79	78	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> -. suc j = (/) )
80	79	iffalsed 3567	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) = ( p ` U. suc j ) )
81	48	iffalsed 3567	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = ( p ` U. j ) )
82	76, 80, 81	3sstr4d 3224	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
83		nndceq0 4650	. . . . . . . 8 |- ( j e. om -> DECID j = (/) )
84	83	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> DECID j = (/) )
85		exmiddc 837	. . . . . . 7 |- (DECID j = (/) -> ( j = (/) \/ -. j = (/) ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( j = (/) \/ -. j = (/) ) )
87	38, 82, 86	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
88		eqeq1 2200	. . . . . . . 8 |- ( i = suc j -> ( i = (/) <-> suc j = (/) ) )
89		unieq 3844	. . . . . . . . 9 |- ( i = suc j -> U. i = U. suc j )
90	89	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( i = suc j -> ( p ` U. i ) = ( p ` U. suc j ) )
91	88, 90	ifbieq2d 3581	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) = if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) )
92	91, 12	fvmptg 5633	. . . . . 6 |- ( ( suc j e. om /\ if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) = if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) )
93	24, 30, 92	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) = if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) )
94	22, 72	ffvelcdmd 5694	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( p ` U. j ) e. 2o )
95	21, 94, 84	ifcldcd 3593	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) e. 2o )
96		eqeq1 2200	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( i = (/) <-> j = (/) ) )
97		unieq 3844	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> U. i = U. j )
98	97	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( p ` U. i ) = ( p ` U. j ) )
99	96, 98	ifbieq2d 3581	. . . . . . 7 |- ( i = j -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) = if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
100	99, 12	fvmptg 5633	. . . . . 6 |- ( ( j e. om /\ if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) = if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
101	39, 95, 100	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) = if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
102	87, 93, 101	3sstr4d 3224	. . . 4 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) )
103	102	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( p e. ℕ∞ -> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) )
104		fveq1 5553	. . . . . 6 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) )
105		fveq1 5553	. . . . . 6 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) )
106	104, 105	sseq12d 3210	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) ) )
107	106	ralbidv 2494	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) ) )
108	107, 61	elrab2 2919	. . 3 |- ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) ) )
109	18, 103, 108	sylanbrc 417	. 2 |- ( p e. ℕ∞ -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ℕ∞ )
110	1, 109	fmpti 5710	1 |- S :ℕ∞ -->ℕ∞

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ifcif 3557   U.cuni 3835   |-> cmpt 4090   Tr wtr 4127   Ord word 4393   suc csuc 4396   omcom 4622   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1oc1o 6462   2oc2o 6463   ^m cmap 6702  ℕ_∞xnninf 7178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1o 6469  df-2o 6470  df-map 6704  df-nninf 7179

This theorem is referenced by:  peano4nninf  15496