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Theorem nnsf 11541
Description: Domain and range of  S. Part of Definition 3.3 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nns.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nnsf  |-  S : -->
Distinct variable group:    i, p
Allowed substitution hints:    S( i, p)

Proof of Theorem nnsf
Dummy variables  f  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nns.s . 2  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
2 1lt2o 11532 . . . . . . 7  |-  1o  e.  2o
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
4 nninff 11540 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ->  p : om --> 2o )
54adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  p : om --> 2o )
6 nnpredcl 11536 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  om  ->  U. i  e.  om )
76adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  U. i  e.  om )
85, 7ffvelrnd 5419 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  ( p `  U. i )  e.  2o )
9 nndceq0 4421 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  om  -> DECID  i  =  (/) )
109adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  -> DECID 
i  =  (/) )
113, 8, 10ifcldcd 3422 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) )  e.  2o )
12 eqid 2088 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )
1311, 12fmptd 5436 . . . 4  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) : om --> 2o )
14 2onn 6260 . . . . 5  |-  2o  e.  om
15 omex 4398 . . . . 5  |-  om  e.  _V
16 elmapg 6398 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  om  e.  _V )  -> 
( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) : om --> 2o ) )
1714, 15, 16mp2an 417 . . . 4  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) : om --> 2o )
1813, 17sylibr 132 . . 3  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )
)
19 1on 6170 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
2019ontrci 4245 . . . . . . . 8  |-  Tr  1o
212a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
224adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  p : om --> 2o )
23 peano2 4400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
2423adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e.  om )
25 nnpredcl 11536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  j  e.  om  ->  U.
suc  j  e.  om )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  U. suc  j  e. 
om )
2722, 26ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( p `  U. suc  j )  e.  2o )
28 nndceq0 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  j  e.  om  -> DECID  suc  j  =  (/) )
2924, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  -> DECID  suc  j  =  (/) )
3021, 27, 29ifcldcd 3422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )
3130adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )
32 df-2o 6164 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  suc  1o
3331, 32syl6eleq 2180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  suc  1o )
34 trsucss 4241 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  1o  ->  ( if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  e.  suc  1o 
->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) )  C_  1o ) )
3520, 33, 34mpsyl 64 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  1o )
36 iftrue 3394 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  (/)  ->  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) )  =  1o )
3736adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) )  =  1o )
3835, 37sseqtr4d 3061 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) ) )
39 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
4039adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  j  e. 
om )
41 nnord 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  Ord  j )
42 ordtr 4196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  j  ->  Tr  j
)
4340, 41, 423syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  Tr  j
)
44 unisucg 4232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  ( Tr  j  <->  U. suc  j  =  j ) )
4540, 44syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( Tr  j  <->  U. suc  j  =  j ) )
4643, 45mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  U. suc  j  =  j )
4746fveq2d 5293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 U. suc  j
)  =  ( p `
 j ) )
48 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  -.  j  =  (/) )
4948neqned 2262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  j  =/=  (/) )
50 nnsucpred 11537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  om  /\  j  =/=  (/) )  ->  suc  U. j  =  j )
5140, 49, 50syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  suc  U. j  =  j )
5251fveq2d 5293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 suc  U. j
)  =  ( p `
 j ) )
53 suceq 4220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  U. j  ->  suc  k  =  suc  U. j )
5453fveq2d 5293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U. j  -> 
( p `  suc  k )  =  ( p `  suc  U. j ) )
55 fveq2 5289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U. j  -> 
( p `  k
)  =  ( p `
 U. j ) )
5654, 55sseq12d 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U. j  -> 
( ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )  <->  ( p `  suc  U. j )  C_  (
p `  U. j ) ) )
57 fveq1 5288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  p  ->  (
f `  suc  j )  =  ( p `  suc  j ) )
58 fveq1 5288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  p  ->  (
f `  j )  =  ( p `  j ) )
5957, 58sseq12d 3053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  p  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( p `  suc  j
)  C_  ( p `  j ) ) )
6059ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  p  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j ) ) )
61 df-nninf 6770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
6260, 61elrab2 2772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  <->  ( p  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j ) ) )
6362simprbi 269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ->  A. j  e.  om  ( p `  suc  j )  C_  (
p `  j )
)
64 suceq 4220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  suc  j  =  suc  k )
6564fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
p `  suc  j )  =  ( p `  suc  k ) )
66 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
p `  j )  =  ( p `  k ) )
6765, 66sseq12d 3053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
( p `  suc  j )  C_  (
p `  j )  <->  ( p `  suc  k
)  C_  ( p `  k ) ) )
6867cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j )  <->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
6963, 68sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
7069ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
71 nnpredcl 11536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  om  ->  U. j  e.  om )
7271adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  U. j  e.  om )
7372adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  U. j  e.  om )
7456, 70, 73rspcdva 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 suc  U. j
)  C_  ( p `  U. j ) )
7552, 74eqsstr3d 3059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 j )  C_  ( p `  U. j ) )
7647, 75eqsstrd 3058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 U. suc  j
)  C_  ( p `  U. j ) )
77 peano3 4401 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  =/=  (/) )
7877neneqd 2276 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  om  ->  -.  suc  j  =  (/) )
7978ad2antlr 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  -.  suc  j  =  (/) )
8079iffalsed 3399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  =  ( p `  U. suc  j ) )
8148iffalsed 3399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) )  =  ( p `  U. j ) )
8276, 80, 813sstr4d 3067 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  C_  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. j ) ) )
83 nndceq0 4421 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  -> DECID  j  =  (/) )
8483adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  -> DECID 
j  =  (/) )
85 exmiddc 782 . . . . . . 7  |-  (DECID  j  =  (/)  ->  ( j  =  (/)  \/  -.  j  =  (/) ) )
8684, 85syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( j  =  (/)  \/  -.  j  =  (/) ) )
8738, 82, 86mpjaodan 747 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) ) )
88 eqeq1 2094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( i  =  (/)  <->  suc  j  =  (/) ) )
89 unieq 3657 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  ->  U. i  =  U. suc  j )
9089fveq2d 5293 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( p `  U. i )  =  ( p `  U. suc  j ) )
9188, 90ifbieq2d 3411 . . . . . . 7  |-  ( i  =  suc  j  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) ) )
9291, 12fvmptg 5364 . . . . . 6  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) )
9324, 30, 92syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) ) )
9422, 72ffvelrnd 5419 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( p `  U. j )  e.  2o )
9521, 94, 84ifcldcd 3422 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) )  e.  2o )
96 eqeq1 2094 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
i  =  (/)  <->  j  =  (/) ) )
97 unieq 3657 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  U. i  =  U. j )
9897fveq2d 5293 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  U. i )  =  ( p `  U. j ) )
9996, 98ifbieq2d 3411 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) ) )
10099, 12fvmptg 5364 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. j ) )  e.  2o )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 j )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j
) ) )
10139, 95, 100syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 j )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j
) ) )
10287, 93, 1013sstr4d 3067 . . . 4  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) )
103102ralrimiva 2446 . . 3  |-  ( p  e.  ->  A. j  e.  om  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) )
104 fveq1 5288 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( f `  suc  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j ) )
105 fveq1 5288 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( f `  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  j
) )
106104, 105sseq12d 3053 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( ( f `
 suc  j )  C_  ( f `  j
)  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) ) )
107106ralbidv 2380 . . . 4  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j )  C_  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  j
) ) )
108107, 61elrab2 2772 . . 3  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  <-> 
( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) ) )
10918, 103, 108sylanbrc 408 . 2  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e. )
1101, 109fmpti 5435 1  |-  S : -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   _Vcvv 2619    C_ wss 2997   (/)c0 3284   ifcif 3389   U.cuni 3648    |-> cmpt 3891   Tr wtr 3928   Ord word 4180   suc csuc 4183   omcom 4395   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1oc1o 6156   2oc2o 6157    ^m cmap 6385  ℕxnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  peano4nninf  11542
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