Theorem nnsf 15736

Description: Domain and range of S. Part of Definition 3.3 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nns.s	|- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nnsf	|- S :ℕ∞ -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, p

Allowed substitution hints:   S( i, p)

Proof of Theorem nnsf

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nns.s	. 2 |- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
2		1lt2o 6509	. . . . . . 7 |- 1o e. 2o
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
4		nninff 7197	. . . . . . . 8 |- ( p e. ℕ∞ -> p : om --> 2o )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> p : om --> 2o )
6		nnpredcl 4660	. . . . . . . 8 |- ( i e. om -> U. i e. om )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> U. i e. om )
8	5, 7	ffvelcdmd 5701	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> ( p ` U. i ) e. 2o )
9		nndceq0 4655	. . . . . . 7 |- ( i e. om -> DECID i = (/) )
10	9	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> DECID i = (/) )
11	3, 8, 10	ifcldcd 3598	. . . . 5 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ i e. om ) -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) e. 2o )
12		eqid 2196	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) )
13	11, 12	fmptd 5719	. . . 4 |- ( p e. ℕ∞ -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) : om --> 2o )
14		2onn 6588	. . . . 5 |- 2o e. om
15		omex 4630	. . . . 5 |- om e. _V
16		elmapg 6729	. . . . 5 |- ( ( 2o e. om /\ om e. _V ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) : om --> 2o ) )
17	14, 15, 16	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) : om --> 2o )
18	13, 17	sylibr 134	. . 3 |- ( p e. ℕ∞ -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ( 2o ^m om ) )
19		1on 6490	. . . . . . . . 9 |- 1o e. On
20	19	ontrci 4463	. . . . . . . 8 |- Tr 1o
21	2	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> 1o e. 2o )
22	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> p : om --> 2o )
23		peano2 4632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> suc j e. om )
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> suc j e. om )
25		nnpredcl 4660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. om -> U. suc j e. om )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> U. suc j e. om )
27	22, 26	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( p ` U. suc j ) e. 2o )
28		nndceq0 4655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc j e. om -> DECID suc j = (/) )
29	24, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> DECID suc j = (/) )
30	21, 27, 29	ifcldcd 3598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. 2o )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. 2o )
32		df-2o 6484	. . . . . . . . 9 |- 2o = suc 1o
33	31, 32	eleqtrdi 2289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. suc 1o )
34		trsucss 4459	. . . . . . . 8 |- ( Tr 1o -> ( if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. suc 1o -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ 1o ) )
35	20, 33, 34	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ 1o )
36		iftrue 3567	. . . . . . . 8 |- ( j = (/) -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = 1o )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = 1o )
38	35, 37	sseqtrrd 3223	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> j e. om )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> j e. om )
41		nnord 4649	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> Ord j )
42		ordtr 4414	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord j -> Tr j )
43	40, 41, 42	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> Tr j )
44		unisucg 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> ( Tr j <-> U. suc j = j ) )
45	40, 44	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( Tr j <-> U. suc j = j ) )
46	43, 45	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> U. suc j = j )
47	46	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` U. suc j ) = ( p ` j ) )
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> -. j = (/) )
49	48	neqned 2374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> j =/= (/) )
50		nnsucpred 4654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. om /\ j =/= (/) ) -> suc U. j = j )
51	40, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> suc U. j = j )
52	51	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` suc U. j ) = ( p ` j ) )
53		suceq 4438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = U. j -> suc k = suc U. j )
54	53	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U. j -> ( p ` suc k ) = ( p ` suc U. j ) )
55		fveq2 5561	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U. j -> ( p ` k ) = ( p ` U. j ) )
56	54, 55	sseq12d 3215	. . . . . . . . . 10 |- ( k = U. j -> ( ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) <-> ( p ` suc U. j ) C_ ( p ` U. j ) ) )
57		fveq1 5560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = p -> ( f ` suc j ) = ( p ` suc j ) )
58		fveq1 5560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = p -> ( f ` j ) = ( p ` j ) )
59	57, 58	sseq12d 3215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = p -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) ) )
60	59	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = p -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) ) )
61		df-nninf 7195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
62	60, 61	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ℕ∞ <-> ( p e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) ) )
63	62	simprbi 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ℕ∞ -> A. j e. om ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) )
64		suceq 4438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> suc j = suc k )
65	64	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( p ` suc j ) = ( p ` suc k ) )
66		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( p ` j ) = ( p ` k ) )
67	65, 66	sseq12d 3215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) <-> ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) ) )
68	67	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. j e. om ( p ` suc j ) C_ ( p ` j ) <-> A. k e. om ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) )
69	63, 68	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ℕ∞ -> A. k e. om ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) )
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> A. k e. om ( p ` suc k ) C_ ( p ` k ) )
71		nnpredcl 4660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. om -> U. j e. om )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> U. j e. om )
73	72	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> U. j e. om )
74	56, 70, 73	rspcdva 2873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` suc U. j ) C_ ( p ` U. j ) )
75	52, 74	eqsstrrd 3221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` j ) C_ ( p ` U. j ) )
76	47, 75	eqsstrd 3220	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> ( p ` U. suc j ) C_ ( p ` U. j ) )
77		peano3 4633	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. om -> suc j =/= (/) )
78	77	neneqd 2388	. . . . . . . . 9 |- ( j e. om -> -. suc j = (/) )
79	78	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> -. suc j = (/) )
80	79	iffalsed 3572	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) = ( p ` U. suc j ) )
81	48	iffalsed 3572	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) = ( p ` U. j ) )
82	76, 80, 81	3sstr4d 3229	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) /\ -. j = (/) ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
83		nndceq0 4655	. . . . . . . 8 |- ( j e. om -> DECID j = (/) )
84	83	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> DECID j = (/) )
85		exmiddc 837	. . . . . . 7 |- (DECID j = (/) -> ( j = (/) \/ -. j = (/) ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( j = (/) \/ -. j = (/) ) )
87	38, 82, 86	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) C_ if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
88		eqeq1 2203	. . . . . . . 8 |- ( i = suc j -> ( i = (/) <-> suc j = (/) ) )
89		unieq 3849	. . . . . . . . 9 |- ( i = suc j -> U. i = U. suc j )
90	89	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 |- ( i = suc j -> ( p ` U. i ) = ( p ` U. suc j ) )
91	88, 90	ifbieq2d 3586	. . . . . . 7 |- ( i = suc j -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) = if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) )
92	91, 12	fvmptg 5640	. . . . . 6 |- ( ( suc j e. om /\ if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) = if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) )
93	24, 30, 92	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) = if ( suc j = (/) , 1o , ( p ` U. suc j ) ) )
94	22, 72	ffvelcdmd 5701	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( p ` U. j ) e. 2o )
95	21, 94, 84	ifcldcd 3598	. . . . . 6 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) e. 2o )
96		eqeq1 2203	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( i = (/) <-> j = (/) ) )
97		unieq 3849	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> U. i = U. j )
98	97	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( p ` U. i ) = ( p ` U. j ) )
99	96, 98	ifbieq2d 3586	. . . . . . 7 |- ( i = j -> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) = if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
100	99, 12	fvmptg 5640	. . . . . 6 |- ( ( j e. om /\ if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) e. 2o ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) = if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
101	39, 95, 100	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) = if ( j = (/) , 1o , ( p ` U. j ) ) )
102	87, 93, 101	3sstr4d 3229	. . . 4 |- ( ( p e. ℕ∞ /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) )
103	102	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( p e. ℕ∞ -> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) )
104		fveq1 5560	. . . . . 6 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) -> ( f ` suc j ) = ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) )
105		fveq1 5560	. . . . . 6 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) -> ( f ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) )
106	104, 105	sseq12d 3215	. . . . 5 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) ) )
107	106	ralbidv 2497	. . . 4 |- ( f = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) ) )
108	107, 61	elrab2 2923	. . 3 |- ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ℕ∞ <-> ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` suc j ) C_ ( ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) ` j ) ) )
109	18, 103, 108	sylanbrc 417	. 2 |- ( p e. ℕ∞ -> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) e. ℕ∞ )
110	1, 109	fmpti 5717	1 |- S :ℕ∞ -->ℕ∞

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   (/)c0 3451   ifcif 3562   U.cuni 3840   |-> cmpt 4095   Tr wtr 4132   Ord word 4398   suc csuc 4401   omcom 4627   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   1oc1o 6476   2oc2o 6477   ^m cmap 6716  ℕ_∞xnninf 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-nninf 7195

This theorem is referenced by:  peano4nninf  15737