Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nns.s |
. 2
ℕ∞ |
2 | | 1lt2o 6433 |
. . . . . . 7
|
3 | 2 | a1i 9 |
. . . . . 6
ℕ∞ |
4 | | nninff 7111 |
. . . . . . . 8
ℕ∞ |
5 | 4 | adantr 276 |
. . . . . . 7
ℕ∞ |
6 | | nnpredcl 4616 |
. . . . . . . 8
|
7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . . 7
ℕ∞ |
8 | 5, 7 | ffvelcdmd 5644 |
. . . . . 6
ℕ∞ |
9 | | nndceq0 4611 |
. . . . . . 7
DECID
|
10 | 9 | adantl 277 |
. . . . . 6
ℕ∞ DECID |
11 | 3, 8, 10 | ifcldcd 3567 |
. . . . 5
ℕ∞ |
12 | | eqid 2175 |
. . . . 5
|
13 | 11, 12 | fmptd 5662 |
. . . 4
ℕ∞ |
14 | | 2onn 6512 |
. . . . 5
|
15 | | omex 4586 |
. . . . 5
|
16 | | elmapg 6651 |
. . . . 5
|
17 | 14, 15, 16 | mp2an 426 |
. . . 4
|
18 | 13, 17 | sylibr 134 |
. . 3
ℕ∞ |
19 | | 1on 6414 |
. . . . . . . . 9
|
20 | 19 | ontrci 4421 |
. . . . . . . 8
|
21 | 2 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
ℕ∞ |
22 | 4 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
ℕ∞ |
23 | | peano2 4588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
24 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
ℕ∞
|
25 | | nnpredcl 4616 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
ℕ∞ |
27 | 22, 26 | ffvelcdmd 5644 |
. . . . . . . . . . 11
ℕ∞ |
28 | | nndceq0 4611 |
. . . . . . . . . . . 12
DECID |
29 | 24, 28 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
ℕ∞ DECID
|
30 | 21, 27, 29 | ifcldcd 3567 |
. . . . . . . . . 10
ℕ∞ |
31 | 30 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
ℕ∞ |
32 | | df-2o 6408 |
. . . . . . . . 9
|
33 | 31, 32 | eleqtrdi 2268 |
. . . . . . . 8
ℕ∞ |
34 | | trsucss 4417 |
. . . . . . . 8
|
35 | 20, 33, 34 | mpsyl 65 |
. . . . . . 7
ℕ∞ |
36 | | iftrue 3537 |
. . . . . . . 8
|
37 | 36 | adantl 277 |
. . . . . . 7
ℕ∞ |
38 | 35, 37 | sseqtrrd 3192 |
. . . . . 6
ℕ∞ |
39 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
ℕ∞ |
40 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
ℕ∞
|
41 | | nnord 4605 |
. . . . . . . . . . 11
|
42 | | ordtr 4372 |
. . . . . . . . . . 11
|
43 | 40, 41, 42 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . 10
ℕ∞
|
44 | | unisucg 4408 |
. . . . . . . . . . 11
|
45 | 40, 44 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
ℕ∞
|
46 | 43, 45 | mpbid 147 |
. . . . . . . . 9
ℕ∞
|
47 | 46 | fveq2d 5511 |
. . . . . . . 8
ℕ∞
|
48 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
ℕ∞
|
49 | 48 | neqned 2352 |
. . . . . . . . . . 11
ℕ∞
|
50 | | nnsucpred 4610 |
. . . . . . . . . . 11
|
51 | 40, 49, 50 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
ℕ∞
|
52 | 51 | fveq2d 5511 |
. . . . . . . . 9
ℕ∞
|
53 | | suceq 4396 |
. . . . . . . . . . . 12
|
54 | 53 | fveq2d 5511 |
. . . . . . . . . . 11
|
55 | | fveq2 5507 |
. . . . . . . . . . 11
|
56 | 54, 55 | sseq12d 3184 |
. . . . . . . . . 10
|
57 | | fveq1 5506 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
58 | | fveq1 5506 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
59 | 57, 58 | sseq12d 3184 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
60 | 59 | ralbidv 2475 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
61 | | df-nninf 7109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
ℕ∞
|
62 | 60, 61 | elrab2 2894 |
. . . . . . . . . . . . 13
ℕ∞
|
63 | 62 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . . . 12
ℕ∞ |
64 | | suceq 4396 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
65 | 64 | fveq2d 5511 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
66 | | fveq2 5507 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
67 | 65, 66 | sseq12d 3184 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
68 | 67 | cbvralv 2701 |
. . . . . . . . . . . 12
|
69 | 63, 68 | sylib 122 |
. . . . . . . . . . 11
ℕ∞ |
70 | 69 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . 10
ℕ∞
|
71 | | nnpredcl 4616 |
. . . . . . . . . . . 12
|
72 | 71 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
ℕ∞ |
73 | 72 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
ℕ∞
|
74 | 56, 70, 73 | rspcdva 2844 |
. . . . . . . . 9
ℕ∞
|
75 | 52, 74 | eqsstrrd 3190 |
. . . . . . . 8
ℕ∞
|
76 | 47, 75 | eqsstrd 3189 |
. . . . . . 7
ℕ∞
|
77 | | peano3 4589 |
. . . . . . . . . 10
|
78 | 77 | neneqd 2366 |
. . . . . . . . 9
|
79 | 78 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . 8
ℕ∞
|
80 | 79 | iffalsed 3542 |
. . . . . . 7
ℕ∞
|
81 | 48 | iffalsed 3542 |
. . . . . . 7
ℕ∞
|
82 | 76, 80, 81 | 3sstr4d 3198 |
. . . . . 6
ℕ∞
|
83 | | nndceq0 4611 |
. . . . . . . 8
DECID
|
84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . 7
ℕ∞ DECID |
85 | | exmiddc 836 |
. . . . . . 7
DECID |
86 | 84, 85 | syl 14 |
. . . . . 6
ℕ∞ |
87 | 38, 82, 86 | mpjaodan 798 |
. . . . 5
ℕ∞ |
88 | | eqeq1 2182 |
. . . . . . . 8
|
89 | | unieq 3814 |
. . . . . . . . 9
|
90 | 89 | fveq2d 5511 |
. . . . . . . 8
|
91 | 88, 90 | ifbieq2d 3556 |
. . . . . . 7
|
92 | 91, 12 | fvmptg 5584 |
. . . . . 6
|
93 | 24, 30, 92 | syl2anc 411 |
. . . . 5
ℕ∞
|
94 | 22, 72 | ffvelcdmd 5644 |
. . . . . . 7
ℕ∞ |
95 | 21, 94, 84 | ifcldcd 3567 |
. . . . . 6
ℕ∞ |
96 | | eqeq1 2182 |
. . . . . . . 8
|
97 | | unieq 3814 |
. . . . . . . . 9
|
98 | 97 | fveq2d 5511 |
. . . . . . . 8
|
99 | 96, 98 | ifbieq2d 3556 |
. . . . . . 7
|
100 | 99, 12 | fvmptg 5584 |
. . . . . 6
|
101 | 39, 95, 100 | syl2anc 411 |
. . . . 5
ℕ∞ |
102 | 87, 93, 101 | 3sstr4d 3198 |
. . . 4
ℕ∞
|
103 | 102 | ralrimiva 2548 |
. . 3
ℕ∞
|
104 | | fveq1 5506 |
. . . . . 6
|
105 | | fveq1 5506 |
. . . . . 6
|
106 | 104, 105 | sseq12d 3184 |
. . . . 5
|
107 | 106 | ralbidv 2475 |
. . . 4
|
108 | 107, 61 | elrab2 2894 |
. . 3
ℕ∞
|
109 | 18, 103, 108 | sylanbrc 417 |
. 2
ℕ∞
ℕ∞ |
110 | 1, 109 | fmpti 5660 |
1
ℕ∞ℕ∞ |