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Theorem nnsf 13372
Description: Domain and range of  S. Part of Definition 3.3 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nns.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nnsf  |-  S : -->
Distinct variable group:    i, p
Allowed substitution hints:    S( i, p)

Proof of Theorem nnsf
Dummy variables  f  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nns.s . 2  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
2 1lt2o 6346 . . . . . . 7  |-  1o  e.  2o
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
4 nninff 13371 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ->  p : om --> 2o )
54adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  p : om --> 2o )
6 nnpredcl 4543 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  om  ->  U. i  e.  om )
76adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  U. i  e.  om )
85, 7ffvelrnd 5563 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  ( p `  U. i )  e.  2o )
9 nndceq0 4538 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  om  -> DECID  i  =  (/) )
109adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  -> DECID 
i  =  (/) )
113, 8, 10ifcldcd 3511 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  i  e.  om )  ->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) )  e.  2o )
12 eqid 2140 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )
1311, 12fmptd 5581 . . . 4  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) : om --> 2o )
14 2onn 6424 . . . . 5  |-  2o  e.  om
15 omex 4514 . . . . 5  |-  om  e.  _V
16 elmapg 6562 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  om  e.  _V )  -> 
( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) : om --> 2o ) )
1714, 15, 16mp2an 423 . . . 4  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) : om --> 2o )
1813, 17sylibr 133 . . 3  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )
)
19 1on 6327 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
2019ontrci 4356 . . . . . . . 8  |-  Tr  1o
212a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
224adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  p : om --> 2o )
23 peano2 4516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
2423adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  suc  j  e.  om )
25 nnpredcl 4543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  j  e.  om  ->  U.
suc  j  e.  om )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  U. suc  j  e. 
om )
2722, 26ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( p `  U. suc  j )  e.  2o )
28 nndceq0 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  j  e.  om  -> DECID  suc  j  =  (/) )
2924, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  -> DECID  suc  j  =  (/) )
3021, 27, 29ifcldcd 3511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )
3130adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )
32 df-2o 6321 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  suc  1o
3331, 32eleqtrdi 2233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) )  e.  suc  1o )
34 trsucss 4352 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  1o  ->  ( if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  e.  suc  1o 
->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) )  C_  1o ) )
3520, 33, 34mpsyl 65 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  1o )
36 iftrue 3483 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  (/)  ->  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) )  =  1o )
3736adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) )  =  1o )
3835, 37sseqtrrd 3140 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) ) )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
4039adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  j  e. 
om )
41 nnord 4532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  Ord  j )
42 ordtr 4307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  j  ->  Tr  j
)
4340, 41, 423syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  Tr  j
)
44 unisucg 4343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  ( Tr  j  <->  U. suc  j  =  j ) )
4540, 44syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( Tr  j  <->  U. suc  j  =  j ) )
4643, 45mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  U. suc  j  =  j )
4746fveq2d 5432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 U. suc  j
)  =  ( p `
 j ) )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  -.  j  =  (/) )
4948neqned 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  j  =/=  (/) )
50 nnsucpred 4537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  om  /\  j  =/=  (/) )  ->  suc  U. j  =  j )
5140, 49, 50syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  suc  U. j  =  j )
5251fveq2d 5432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 suc  U. j
)  =  ( p `
 j ) )
53 suceq 4331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  U. j  ->  suc  k  =  suc  U. j )
5453fveq2d 5432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U. j  -> 
( p `  suc  k )  =  ( p `  suc  U. j ) )
55 fveq2 5428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U. j  -> 
( p `  k
)  =  ( p `
 U. j ) )
5654, 55sseq12d 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U. j  -> 
( ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )  <->  ( p `  suc  U. j )  C_  (
p `  U. j ) ) )
57 fveq1 5427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  p  ->  (
f `  suc  j )  =  ( p `  suc  j ) )
58 fveq1 5427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  p  ->  (
f `  j )  =  ( p `  j ) )
5957, 58sseq12d 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  p  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( p `  suc  j
)  C_  ( p `  j ) ) )
6059ralbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  p  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j ) ) )
61 df-nninf 7014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
6260, 61elrab2 2846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  <->  ( p  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j ) ) )
6362simprbi 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ->  A. j  e.  om  ( p `  suc  j )  C_  (
p `  j )
)
64 suceq 4331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  suc  j  =  suc  k )
6564fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
p `  suc  j )  =  ( p `  suc  k ) )
66 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
p `  j )  =  ( p `  k ) )
6765, 66sseq12d 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
( p `  suc  j )  C_  (
p `  j )  <->  ( p `  suc  k
)  C_  ( p `  k ) ) )
6867cbvralv 2657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. j  e.  om  (
p `  suc  j ) 
C_  ( p `  j )  <->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
6963, 68sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
7069ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  A. k  e.  om  ( p `  suc  k )  C_  (
p `  k )
)
71 nnpredcl 4543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  om  ->  U. j  e.  om )
7271adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  U. j  e.  om )
7372adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  U. j  e.  om )
7456, 70, 73rspcdva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 suc  U. j
)  C_  ( p `  U. j ) )
7552, 74eqsstrrd 3138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 j )  C_  ( p `  U. j ) )
7647, 75eqsstrd 3137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  ( p `
 U. suc  j
)  C_  ( p `  U. j ) )
77 peano3 4517 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  =/=  (/) )
7877neneqd 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  om  ->  -.  suc  j  =  (/) )
7978ad2antlr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  -.  suc  j  =  (/) )
8079iffalsed 3488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  =  ( p `  U. suc  j ) )
8148iffalsed 3488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) )  =  ( p `  U. j ) )
8276, 80, 813sstr4d 3146 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  /\  -.  j  =  (/) )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) )  C_  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. j ) ) )
83 nndceq0 4538 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  -> DECID  j  =  (/) )
8483adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  -> DECID 
j  =  (/) )
85 exmiddc 822 . . . . . . 7  |-  (DECID  j  =  (/)  ->  ( j  =  (/)  \/  -.  j  =  (/) ) )
8684, 85syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( j  =  (/)  \/  -.  j  =  (/) ) )
8738, 82, 86mpjaodan 788 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) 
C_  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) ) )
88 eqeq1 2147 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( i  =  (/)  <->  suc  j  =  (/) ) )
89 unieq 3752 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  ->  U. i  =  U. suc  j )
9089fveq2d 5432 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( p `  U. i )  =  ( p `  U. suc  j ) )
9188, 90ifbieq2d 3500 . . . . . . 7  |-  ( i  =  suc  j  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. suc  j
) ) )
9291, 12fvmptg 5504 . . . . . 6  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) )  e.  2o )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. suc  j ) ) )
9324, 30, 92syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  =  if ( suc  j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. suc  j ) ) )
9422, 72ffvelrnd 5563 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( p `  U. j )  e.  2o )
9521, 94, 84ifcldcd 3511 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  if ( j  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. j ) )  e.  2o )
96 eqeq1 2147 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
i  =  (/)  <->  j  =  (/) ) )
97 unieq 3752 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  U. i  =  U. j )
9897fveq2d 5432 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  U. i )  =  ( p `  U. j ) )
9996, 98ifbieq2d 3500 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j ) ) )
10099, 12fvmptg 5504 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. j ) )  e.  2o )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 j )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j
) ) )
10139, 95, 100syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 j )  =  if ( j  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. j
) ) )
10287, 93, 1013sstr4d 3146 . . . 4  |-  ( ( p  e.  /\  j  e.  om )  ->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) )
103102ralrimiva 2508 . . 3  |-  ( p  e.  ->  A. j  e.  om  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) )
104 fveq1 5427 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( f `  suc  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j ) )
105 fveq1 5427 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( f `  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  j
) )
106104, 105sseq12d 3132 . . . . 5  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( ( f `
 suc  j )  C_  ( f `  j
)  <->  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) ) )
107106ralbidv 2438 . . . 4  |-  ( f  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  suc  j )  C_  (
( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) `  j
) ) )
108107, 61elrab2 2846 . . 3  |-  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e.  <-> 
( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `  U. i ) ) ) `
 suc  j )  C_  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o , 
( p `  U. i ) ) ) `
 j ) ) )
10918, 103, 108sylanbrc 414 . 2  |-  ( p  e.  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) )  e. )
1101, 109fmpti 5579 1  |-  S : -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1332    e. wcel 1481    =/= wne 2309   A.wral 2417   _Vcvv 2689    C_ wss 3075   (/)c0 3367   ifcif 3478   U.cuni 3743    |-> cmpt 3996   Tr wtr 4033   Ord word 4291   suc csuc 4294   omcom 4511   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   1oc1o 6313   2oc2o 6314    ^m cmap 6549  ℕxnninf 7012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1o 6320  df-2o 6321  df-map 6551  df-nninf 7014
This theorem is referenced by:  peano4nninf  13373
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