Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nns.s |
. 2

ℕ∞               |
2 | | 1lt2o 6468 |
. . . . . . 7
 |
3 | 2 | a1i 9 |
. . . . . 6
 
ℕ∞    |
4 | | nninff 7152 |
. . . . . . . 8
 ℕ∞       |
5 | 4 | adantr 276 |
. . . . . . 7
 
ℕ∞        |
6 | | nnpredcl 4640 |
. . . . . . . 8
    |
7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . . 7
 
ℕ∞     |
8 | 5, 7 | ffvelcdmd 5673 |
. . . . . 6
 
ℕ∞         |
9 | | nndceq0 4635 |
. . . . . . 7

DECID
  |
10 | 9 | adantl 277 |
. . . . . 6
 
ℕ∞  DECID   |
11 | 3, 8, 10 | ifcldcd 3585 |
. . . . 5
 
ℕ∞              |
12 | | eqid 2189 |
. . . . 5
                         |
13 | 11, 12 | fmptd 5691 |
. . . 4
 ℕ∞                   |
14 | | 2onn 6547 |
. . . . 5
 |
15 | | omex 4610 |
. . . . 5
 |
16 | | elmapg 6688 |
. . . . 5
                                     |
17 | 14, 15, 16 | mp2an 426 |
. . . 4
                                 |
18 | 13, 17 | sylibr 134 |
. . 3
 ℕ∞                 |
19 | | 1on 6449 |
. . . . . . . . 9
 |
20 | 19 | ontrci 4445 |
. . . . . . . 8
 |
21 | 2 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
 
ℕ∞    |
22 | 4 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
 
ℕ∞        |
23 | | peano2 4612 |
. . . . . . . . . . . . . 14

  |
24 | 23 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
ℕ∞ 
  |
25 | | nnpredcl 4640 |
. . . . . . . . . . . . 13
    |
26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
 
ℕ∞     |
27 | 22, 26 | ffvelcdmd 5673 |
. . . . . . . . . . 11
 
ℕ∞         |
28 | | nndceq0 4635 |
. . . . . . . . . . . 12
 DECID   |
29 | 24, 28 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
 
ℕ∞  DECID
  |
30 | 21, 27, 29 | ifcldcd 3585 |
. . . . . . . . . 10
 
ℕ∞              |
31 | 30 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
  
ℕ∞               |
32 | | df-2o 6443 |
. . . . . . . . 9
 |
33 | 31, 32 | eleqtrdi 2282 |
. . . . . . . 8
  
ℕ∞               |
34 | | trsucss 4441 |
. . . . . . . 8

                        |
35 | 20, 33, 34 | mpsyl 65 |
. . . . . . 7
  
ℕ∞               |
36 | | iftrue 3554 |
. . . . . . . 8

            |
37 | 36 | adantl 277 |
. . . . . . 7
  
ℕ∞               |
38 | 35, 37 | sseqtrrd 3209 |
. . . . . 6
  
ℕ∞                         |
39 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
 
ℕ∞    |
40 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
  
ℕ∞  
  |
41 | | nnord 4629 |
. . . . . . . . . . 11
   |
42 | | ordtr 4396 |
. . . . . . . . . . 11

  |
43 | 40, 41, 42 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . 10
  
ℕ∞  
  |
44 | | unisucg 4432 |
. . . . . . . . . . 11
 
    |
45 | 40, 44 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
  
ℕ∞  
     |
46 | 43, 45 | mpbid 147 |
. . . . . . . . 9
  
ℕ∞  

  |
47 | 46 | fveq2d 5538 |
. . . . . . . 8
  
ℕ∞  
           |
48 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
  
ℕ∞  
  |
49 | 48 | neqned 2367 |
. . . . . . . . . . 11
  
ℕ∞  
  |
50 | | nnsucpred 4634 |
. . . . . . . . . . 11
      |
51 | 40, 49, 50 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
  
ℕ∞  

  |
52 | 51 | fveq2d 5538 |
. . . . . . . . 9
  
ℕ∞  
  
        |
53 | | suceq 4420 |
. . . . . . . . . . . 12
 
   |
54 | 53 | fveq2d 5538 |
. . . . . . . . . . 11
             |
55 | | fveq2 5534 |
. . . . . . . . . . 11
             |
56 | 54, 55 | sseq12d 3201 |
. . . . . . . . . 10
                        |
57 | | fveq1 5533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
58 | | fveq1 5533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
59 | 57, 58 | sseq12d 3201 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
             
       |
60 | 59 | ralbidv 2490 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
                    |
61 | | df-nninf 7150 |
. . . . . . . . . . . . . 14
ℕ∞   
           |
62 | 60, 61 | elrab2 2911 |
. . . . . . . . . . . . 13
 ℕ∞    
           |
63 | 62 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . . . 12
 ℕ∞            |
64 | | suceq 4420 |
. . . . . . . . . . . . . . 15

  |
65 | 64 | fveq2d 5538 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           |
66 | | fveq2 5534 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           |
67 | 65, 66 | sseq12d 3201 |
. . . . . . . . . . . . 13
             
       |
68 | 67 | cbvralv 2718 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       
           |
69 | 63, 68 | sylib 122 |
. . . . . . . . . . 11
 ℕ∞            |
70 | 69 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . 10
  
ℕ∞  
           |
71 | | nnpredcl 4640 |
. . . . . . . . . . . 12
    |
72 | 71 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
 
ℕ∞     |
73 | 72 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
  
ℕ∞  
   |
74 | 56, 70, 73 | rspcdva 2861 |
. . . . . . . . 9
  
ℕ∞  
  
 
       |
75 | 52, 74 | eqsstrrd 3207 |
. . . . . . . 8
  
ℕ∞  
           |
76 | 47, 75 | eqsstrd 3206 |
. . . . . . 7
  
ℕ∞  
    
       |
77 | | peano3 4613 |
. . . . . . . . . 10
   |
78 | 77 | neneqd 2381 |
. . . . . . . . 9

  |
79 | 78 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . 8
  
ℕ∞  
  |
80 | 79 | iffalsed 3559 |
. . . . . . 7
  
ℕ∞  
                 |
81 | 48 | iffalsed 3559 |
. . . . . . 7
  
ℕ∞  
                 |
82 | 76, 80, 81 | 3sstr4d 3215 |
. . . . . 6
  
ℕ∞  
                      |
83 | | nndceq0 4635 |
. . . . . . . 8

DECID
  |
84 | 83 | adantl 277 |
. . . . . . 7
 
ℕ∞  DECID   |
85 | | exmiddc 837 |
. . . . . . 7
DECID     |
86 | 84, 85 | syl 14 |
. . . . . 6
 
ℕ∞      |
87 | 38, 82, 86 | mpjaodan 799 |
. . . . 5
 
ℕ∞                        |
88 | | eqeq1 2196 |
. . . . . . . 8
 
   |
89 | | unieq 3833 |
. . . . . . . . 9
 
   |
90 | 89 | fveq2d 5538 |
. . . . . . . 8
             |
91 | 88, 90 | ifbieq2d 3573 |
. . . . . . 7
                       |
92 | 91, 12 | fvmptg 5613 |
. . . . . 6
                                         |
93 | 24, 30, 92 | syl2anc 411 |
. . . . 5
 
ℕ∞                
             |
94 | 22, 72 | ffvelcdmd 5673 |
. . . . . . 7
 
ℕ∞         |
95 | 21, 94, 84 | ifcldcd 3585 |
. . . . . 6
 
ℕ∞              |
96 | | eqeq1 2196 |
. . . . . . . 8
 
   |
97 | | unieq 3833 |
. . . . . . . . 9
     |
98 | 97 | fveq2d 5538 |
. . . . . . . 8
             |
99 | 96, 98 | ifbieq2d 3573 |
. . . . . . 7
                       |
100 | 99, 12 | fvmptg 5613 |
. . . . . 6
                                         |
101 | 39, 95, 100 | syl2anc 411 |
. . . . 5
 
ℕ∞                              |
102 | 87, 93, 101 | 3sstr4d 3215 |
. . . 4
 
ℕ∞                
                   |
103 | 102 | ralrimiva 2563 |
. . 3
 ℕ∞                
                   |
104 | | fveq1 5533 |
. . . . . 6
                                   |
105 | | fveq1 5533 |
. . . . . 6
                                   |
106 | 104, 105 | sseq12d 3201 |
. . . . 5
                
                   
                    |
107 | 106 | ralbidv 2490 |
. . . 4
                                                           |
108 | 107, 61 | elrab2 2911 |
. . 3
            
ℕ∞                               
                    |
109 | 18, 103, 108 | sylanbrc 417 |
. 2
 ℕ∞            
ℕ∞ |
110 | 1, 109 | fmpti 5689 |
1
 ℕ∞ ℕ∞ |