Theorem nnnninfeq2 7084

Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ_∞. Similar to nnnninfeq 7083 but if we have information about a single 1o digit, that gives information about all previous digits. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfeq2.p	|- ( ph -> P e. ℕ∞ )
nnnninfeq2.n	|- ( ph -> N e. om )
nnnninfeq2.1	|- ( ph -> ( P ` U. N ) = 1o )
nnnninfeq2.0	|- ( ph -> ( P ` N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nnnninfeq2	|- ( ph -> P = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N   ph, i

Allowed substitution hint:   P( i)

Proof of Theorem nnnninfeq2

Dummy variables w x f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfeq2.p	. 2 |- ( ph -> P e. ℕ∞ )
2		nnnninfeq2.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
3		nnnninfeq2.1	. . 3 |- ( ph -> ( P ` U. N ) = 1o )
4	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) -> N e. om )
5		unieq 3792	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> U. w = U. (/) )
6	5	fveqeq2d 5488	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( P ` U. w ) = 1o <-> ( P ` U. (/) ) = 1o ) )
7	6	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) <-> ( ph /\ ( P ` U. (/) ) = 1o ) ) )
8		raleq 2659	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. (/) ( P ` x ) = 1o ) )
9	7, 8	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) -> A. x e. w ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ( ph /\ ( P ` U. (/) ) = 1o ) -> A. x e. (/) ( P ` x ) = 1o ) ) )
10		unieq 3792	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> U. w = U. k )
11	10	fveqeq2d 5488	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( ( P ` U. w ) = 1o <-> ( P ` U. k ) = 1o ) )
12	11	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) <-> ( ph /\ ( P ` U. k ) = 1o ) ) )
13		raleq 2659	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A. x e. w ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) )
14	12, 13	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) -> A. x e. w ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ( ph /\ ( P ` U. k ) = 1o ) -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) )
15		unieq 3792	. . . . . . . 8 |- ( w = suc k -> U. w = U. suc k )
16	15	fveqeq2d 5488	. . . . . . 7 |- ( w = suc k -> ( ( P ` U. w ) = 1o <-> ( P ` U. suc k ) = 1o ) )
17	16	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = suc k -> ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) <-> ( ph /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) ) )
18		raleq 2659	. . . . . 6 |- ( w = suc k -> ( A. x e. w ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) )
19	17, 18	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) -> A. x e. w ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ( ph /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) )
20		unieq 3792	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> U. w = U. N )
21	20	fveqeq2d 5488	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( ( P ` U. w ) = 1o <-> ( P ` U. N ) = 1o ) )
22	21	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) <-> ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) ) )
23		raleq 2659	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A. x e. w ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. N ( P ` x ) = 1o ) )
24	22, 23	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) -> A. x e. w ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) -> A. x e. N ( P ` x ) = 1o ) ) )
25		ral0 3505	. . . . . 6 |- A. x e. (/) ( P ` x ) = 1o
26	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P ` U. (/) ) = 1o ) -> A. x e. (/) ( P ` x ) = 1o )
27		uni0 3810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. (/) = (/)
28		unieq 3792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = (/) -> U. k = U. (/) )
29		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = (/) -> k = (/) )
30	27, 28, 29	3eqtr4a 2223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = (/) -> U. k = k )
31	30	fveq2d 5484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = (/) -> ( P ` U. k ) = ( P ` k ) )
32		nnord 4583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. om -> Ord k )
33		ordtr 4350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord k -> Tr k )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> Tr k )
35	34	ad3antlr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> Tr k )
36		unisucg 4386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> ( Tr k <-> U. suc k = k ) )
37	36	ad3antlr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( Tr k <-> U. suc k = k ) )
38	35, 37	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> U. suc k = k )
39	38	fveq2d 5484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` U. suc k ) = ( P ` k ) )
40		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` U. suc k ) = 1o )
41	39, 40	eqtr3d 2199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` k ) = 1o )
42	31, 41	sylan9eqr 2219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ k = (/) ) -> ( P ` U. k ) = 1o )
43		nninff 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ℕ∞ -> P : om --> 2o )
44	1, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P : om --> 2o )
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> P : om --> 2o )
46		nnpredcl 4594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> U. k e. om )
47	46	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> U. k e. om )
48	45, 47	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( P ` U. k ) e. 2o )
49		el2oss1o 6402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` U. k ) e. 2o -> ( P ` U. k ) C_ 1o )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( P ` U. k ) C_ 1o )
51	50	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` U. k ) C_ 1o )
52		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> k e. om )
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> -. k = (/) )
54	53	neqned 2341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> k =/= (/) )
55		nnsucpred 4588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. om /\ k =/= (/) ) -> suc U. k = k )
56	52, 54, 55	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> suc U. k = k )
57	56	fveq2d 5484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` suc U. k ) = ( P ` k ) )
58	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` k ) = 1o )
59	57, 58	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` suc U. k ) = 1o )
60		suceq 4374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = U. k -> suc j = suc U. k )
61	60	fveq2d 5484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = U. k -> ( P ` suc j ) = ( P ` suc U. k ) )
62		fveq2 5480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = U. k -> ( P ` j ) = ( P ` U. k ) )
63	61, 62	sseq12d 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = U. k -> ( ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) <-> ( P ` suc U. k ) C_ ( P ` U. k ) ) )
64		fveq1 5479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = P -> ( f ` suc j ) = ( P ` suc j ) )
65		fveq1 5479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = P -> ( f ` j ) = ( P ` j ) )
66	64, 65	sseq12d 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = P -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
67	66	ralbidv 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = P -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
68		df-nninf 7076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
69	67, 68	elrab2 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ℕ∞ <-> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
70	1, 69	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
71	70	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) )
72	71	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) )
73	46	ad3antlr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> U. k e. om )
74	63, 72, 73	rspcdva 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` suc U. k ) C_ ( P ` U. k ) )
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` suc U. k ) C_ ( P ` U. k ) )
76	59, 75	eqsstrrd 3174	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> 1o C_ ( P ` U. k ) )
77	51, 76	eqssd 3154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` U. k ) = 1o )
78		nndceq0 4589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. om -> DECID k = (/) )
79		exmiddc 826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (DECID k = (/) -> ( k = (/) \/ -. k = (/) ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> ( k = (/) \/ -. k = (/) ) )
81	80	ad3antlr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( k = (/) \/ -. k = (/) ) )
82	42, 77, 81	mpjaodan 788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` U. k ) = 1o )
83		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) )
84	82, 83	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o )
85		fveqeq2 5489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( ( P ` x ) = 1o <-> ( P ` k ) = 1o ) )
86	85	ralunsn 3771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( A. x e. ( k u. { k } ) ( P ` x ) = 1o <-> ( A. x e. k ( P ` x ) = 1o /\ ( P ` k ) = 1o ) ) )
87	86	ad3antlr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( A. x e. ( k u. { k } ) ( P ` x ) = 1o <-> ( A. x e. k ( P ` x ) = 1o /\ ( P ` k ) = 1o ) ) )
88	84, 41, 87	mpbir2and 933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. ( k u. { k } ) ( P ` x ) = 1o )
89		df-suc 4343	. . . . . . . . . . 11 |- suc k = ( k u. { k } )
90	89	raleqi 2663	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. ( k u. { k } ) ( P ` x ) = 1o )
91	88, 90	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o )
92	91	exp31 362	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) -> ( ( P ` U. suc k ) = 1o -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) )
93	92	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> ( ph -> ( ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) -> ( ( P ` U. suc k ) = 1o -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) ) )
94	93	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. om -> ( ( ph -> ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) -> ( ph -> ( ( P ` U. suc k ) = 1o -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) ) )
95		impexp 261	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P ` U. k ) = 1o ) -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ph -> ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) )
96		impexp 261	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ph -> ( ( P ` U. suc k ) = 1o -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) )
97	94, 95, 96	3imtr4g 204	. . . . 5 |- ( k e. om -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. k ) = 1o ) -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) -> ( ( ph /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) )
98	9, 14, 19, 24, 26, 97	finds 4571	. . . 4 |- ( N e. om -> ( ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) -> A. x e. N ( P ` x ) = 1o ) )
99	4, 98	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) -> A. x e. N ( P ` x ) = 1o )
100	3, 99	mpdan 418	. 2 |- ( ph -> A. x e. N ( P ` x ) = 1o )
101		nnnninfeq2.0	. 2 |- ( ph -> ( P ` N ) = (/) )
102	1, 2, 100, 101	nnnninfeq 7083	1 |- ( ph -> P = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1342   e. wcel 2135   =/= wne 2334   A.wral 2442   u. cun 3109   C_ wss 3111   (/)c0 3404   ifcif 3515   {csn 3570   U.cuni 3783   |-> cmpt 4037   Tr wtr 4074   Ord word 4334   suc csuc 4337   omcom 4561   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   1oc1o 6368   2oc2o 6369   ^m cmap 6605  ℕ_∞xnninf 7075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1o 6375  df-2o 6376  df-map 6607  df-nninf 7076

This theorem is referenced by:  nninfisollemeq  7087