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Theorem nnnninfeq2 7140
Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ. Similar to nnnninfeq 7139 but if we have information about a single  1o digit, that gives information about all previous digits. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nnnninfeq2.p  |-  ( ph  ->  P  e. )
nnnninfeq2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nnnninfeq2.1  |-  ( ph  ->  ( P `  U. N )  =  1o )
nnnninfeq2.0  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nnnninfeq2  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N    ph, i
Allowed substitution hint:    P( i)

Proof of Theorem nnnninfeq2
Dummy variables  w  x  f  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnninfeq2.p . 2  |-  ( ph  ->  P  e. )
2 nnnninfeq2.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
3 nnnninfeq2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  U. N )  =  1o )
42adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  N  e.  om )
5 unieq 3830 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U. w  =  U. (/) )
65fveqeq2d 5535 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( P `  U. w
)  =  1o  <->  ( P `  U. (/) )  =  1o ) )
76anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o ) ) )
8 raleq 2683 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o ) )
97, 8imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o )  ->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o ) ) )
10 unieq 3830 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  U. w  =  U. k )
1110fveqeq2d 5535 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. k
)  =  1o ) )
1211anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o ) ) )
13 raleq 2683 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )
1412, 13imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) ) )
15 unieq 3830 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  k  ->  U. w  =  U. suc  k )
1615fveqeq2d 5535 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. suc  k )  =  1o ) )
1716anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  <-> 
( ph  /\  ( P `  U. suc  k
)  =  1o ) ) )
18 raleq 2683 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  suc  k
( P `  x
)  =  1o ) )
1917, 18imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k )  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) )
20 unieq 3830 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  N  ->  U. w  =  U. N )
2120fveqeq2d 5535 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. N
)  =  1o ) )
2221anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o ) ) )
23 raleq 2683 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) )
2422, 23imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) ) )
25 ral0 3536 . . . . . 6  |-  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o
2625a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o )  ->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o )
27 uni0 3848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (/)  =  (/)
28 unieq 3830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  (/)  ->  U. k  =  U. (/) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  (/)  ->  k  =  (/) )
3027, 28, 293eqtr4a 2246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  (/)  ->  U. k  =  k )
3130fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  (/)  ->  ( P `
 U. k )  =  ( P `  k ) )
32 nnord 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
33 ordtr 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  k  ->  Tr  k
)
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  Tr  k )
3534ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  Tr  k )
36 unisucg 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  ( Tr  k  <->  U. suc  k  =  k ) )
3736ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( Tr  k  <->  U.
suc  k  =  k ) )
3835, 37mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  U. suc  k  =  k )
3938fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. suc  k )  =  ( P `  k
) )
40 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. suc  k )  =  1o )
4139, 40eqtr3d 2222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  k )  =  1o )
4231, 41sylan9eqr 2242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  k  =  (/) )  ->  ( P `  U. k )  =  1o )
43 nninff 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  ->  P : om --> 2o )
441, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P : om --> 2o )
4544adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  P : om
--> 2o )
46 nnpredcl 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  U. k  e.  om )
4746adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  U. k  e.  om )
4845, 47ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( P `  U. k )  e.  2o )
49 el2oss1o 6457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  U. k
)  e.  2o  ->  ( P `  U. k
)  C_  1o )
5048, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( P `  U. k )  C_  1o )
5150ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 U. k ) 
C_  1o )
52 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  k  e. 
om )
53 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  -.  k  =  (/) )
5453neqned 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  k  =/=  (/) )
55 nnsucpred 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  om  /\  k  =/=  (/) )  ->  suc  U. k  =  k )
5652, 54, 55syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  suc  U. k  =  k )
5756fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  =  ( P `
 k ) )
5841adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 k )  =  1o )
5957, 58eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  =  1o )
60 suceq 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  U. k  ->  suc  j  =  suc  U. k )
6160fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  U. k  -> 
( P `  suc  j )  =  ( P `  suc  U. k ) )
62 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  U. k  -> 
( P `  j
)  =  ( P `
 U. k ) )
6361, 62sseq12d 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  U. k  -> 
( ( P `  suc  j )  C_  ( P `  j )  <->  ( P `  suc  U. k )  C_  ( P `  U. k ) ) )
64 fveq1 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  suc  j )  =  ( P `  suc  j ) )
65 fveq1 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  j )  =  ( P `  j ) )
6664, 65sseq12d 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  P  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) ) )
6766ralbidv 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  P  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
68 df-nninf 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
6967, 68elrab2 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e.  <->  ( P  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
701, 69sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) ) )
7170simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
7271ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
7346ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  U. k  e.  om )
7463, 72, 73rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  suc  U. k )  C_  ( P `  U. k
) )
7574adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  C_  ( P `  U. k ) )
7659, 75eqsstrrd 3204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  1o  C_  ( P `  U. k
) )
7751, 76eqssd 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 U. k )  =  1o )
78 nndceq0 4629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  om  -> DECID  k  =  (/) )
79 exmiddc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (DECID  k  =  (/)  ->  ( k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  om  ->  (
k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8180ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8242, 77, 81mpjaodan 799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. k )  =  1o )
83 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( ( P `
 U. k )  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )
8482, 83mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )
85 fveqeq2 5536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  1o  <->  ( P `  k )  =  1o ) )
8685ralunsn 3809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  om  ->  ( A. x  e.  (
k  u.  { k } ) ( P `
 x )  =  1o  <->  ( A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o 
/\  ( P `  k )  =  1o ) ) )
8786ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( A. x  e.  ( k  u.  {
k } ) ( P `  x )  =  1o  <->  ( A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o  /\  ( P `  k )  =  1o ) ) )
8884, 41, 87mpbir2and 945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  ( k  u.  { k } ) ( P `
 x )  =  1o )
89 df-suc 4383 . . . . . . . . . . 11  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
9089raleqi 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  ( k  u.  {
k } ) ( P `  x )  =  1o )
9188, 90sylibr 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o )
9291exp31 364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( (
( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )  ->  ( ( P `
 U. suc  k
)  =  1o  ->  A. x  e.  suc  k
( P `  x
)  =  1o ) ) )
9392expcom 116 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o )  -> 
( ( P `  U. suc  k )  =  1o  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) ) )
9493a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )  ->  ( ph  ->  ( ( P `  U. suc  k )  =  1o 
->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o ) ) ) )
95 impexp 263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o )  ->  A. x  e.  k 
( P `  x
)  =  1o )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) ) )
96 impexp 263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( ( P `  U. suc  k )  =  1o 
->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o ) ) )
9794, 95, 963imtr4g 205 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )  ->  ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k )  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) )
989, 14, 19, 24, 26, 97finds 4611 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) )
994, 98mpcom 36 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
1003, 99mpdan 421 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
101 nnnninfeq2.0 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
1021, 2, 100, 101nnnninfeq 7139 1  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1363    e. wcel 2158    =/= wne 2357   A.wral 2465    u. cun 3139    C_ wss 3141   (/)c0 3434   ifcif 3546   {csn 3604   U.cuni 3821    |-> cmpt 4076   Tr wtr 4113   Ord word 4374   suc csuc 4377   omcom 4601   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1oc1o 6423   2oc2o 6424    ^m cmap 6661  ℕxnninf 7131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1o 6430  df-2o 6431  df-map 6663  df-nninf 7132
This theorem is referenced by:  nninfisollemeq  7143
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