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Theorem nnnninfeq2 7105
Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ. Similar to nnnninfeq 7104 but if we have information about a single  1o digit, that gives information about all previous digits. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nnnninfeq2.p  |-  ( ph  ->  P  e. )
nnnninfeq2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nnnninfeq2.1  |-  ( ph  ->  ( P `  U. N )  =  1o )
nnnninfeq2.0  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nnnninfeq2  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N    ph, i
Allowed substitution hint:    P( i)

Proof of Theorem nnnninfeq2
Dummy variables  w  x  f  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnninfeq2.p . 2  |-  ( ph  ->  P  e. )
2 nnnninfeq2.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
3 nnnninfeq2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  U. N )  =  1o )
42adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  N  e.  om )
5 unieq 3805 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U. w  =  U. (/) )
65fveqeq2d 5504 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( P `  U. w
)  =  1o  <->  ( P `  U. (/) )  =  1o ) )
76anbi2d 461 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o ) ) )
8 raleq 2665 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o ) )
97, 8imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o )  ->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o ) ) )
10 unieq 3805 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  U. w  =  U. k )
1110fveqeq2d 5504 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. k
)  =  1o ) )
1211anbi2d 461 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o ) ) )
13 raleq 2665 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )
1412, 13imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) ) )
15 unieq 3805 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  k  ->  U. w  =  U. suc  k )
1615fveqeq2d 5504 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. suc  k )  =  1o ) )
1716anbi2d 461 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  <-> 
( ph  /\  ( P `  U. suc  k
)  =  1o ) ) )
18 raleq 2665 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  suc  k
( P `  x
)  =  1o ) )
1917, 18imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k )  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) )
20 unieq 3805 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  N  ->  U. w  =  U. N )
2120fveqeq2d 5504 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. N
)  =  1o ) )
2221anbi2d 461 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o ) ) )
23 raleq 2665 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) )
2422, 23imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) ) )
25 ral0 3516 . . . . . 6  |-  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o
2625a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o )  ->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o )
27 uni0 3823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (/)  =  (/)
28 unieq 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  (/)  ->  U. k  =  U. (/) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  (/)  ->  k  =  (/) )
3027, 28, 293eqtr4a 2229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  (/)  ->  U. k  =  k )
3130fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  (/)  ->  ( P `
 U. k )  =  ( P `  k ) )
32 nnord 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
33 ordtr 4363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  k  ->  Tr  k
)
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  Tr  k )
3534ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  Tr  k )
36 unisucg 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  ( Tr  k  <->  U. suc  k  =  k ) )
3736ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( Tr  k  <->  U.
suc  k  =  k ) )
3835, 37mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  U. suc  k  =  k )
3938fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. suc  k )  =  ( P `  k
) )
40 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. suc  k )  =  1o )
4139, 40eqtr3d 2205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  k )  =  1o )
4231, 41sylan9eqr 2225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  k  =  (/) )  ->  ( P `  U. k )  =  1o )
43 nninff 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  ->  P : om --> 2o )
441, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P : om --> 2o )
4544adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  P : om
--> 2o )
46 nnpredcl 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  U. k  e.  om )
4746adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  U. k  e.  om )
4845, 47ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( P `  U. k )  e.  2o )
49 el2oss1o 6422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  U. k
)  e.  2o  ->  ( P `  U. k
)  C_  1o )
5048, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( P `  U. k )  C_  1o )
5150ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 U. k ) 
C_  1o )
52 simp-4r 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  k  e. 
om )
53 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  -.  k  =  (/) )
5453neqned 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  k  =/=  (/) )
55 nnsucpred 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  om  /\  k  =/=  (/) )  ->  suc  U. k  =  k )
5652, 54, 55syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  suc  U. k  =  k )
5756fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  =  ( P `
 k ) )
5841adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 k )  =  1o )
5957, 58eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  =  1o )
60 suceq 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  U. k  ->  suc  j  =  suc  U. k )
6160fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  U. k  -> 
( P `  suc  j )  =  ( P `  suc  U. k ) )
62 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  U. k  -> 
( P `  j
)  =  ( P `
 U. k ) )
6361, 62sseq12d 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  U. k  -> 
( ( P `  suc  j )  C_  ( P `  j )  <->  ( P `  suc  U. k )  C_  ( P `  U. k ) ) )
64 fveq1 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  suc  j )  =  ( P `  suc  j ) )
65 fveq1 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  j )  =  ( P `  j ) )
6664, 65sseq12d 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  P  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) ) )
6766ralbidv 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  P  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
68 df-nninf 7097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
6967, 68elrab2 2889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e.  <->  ( P  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
701, 69sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) ) )
7170simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
7271ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
7346ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  U. k  e.  om )
7463, 72, 73rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  suc  U. k )  C_  ( P `  U. k
) )
7574adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  C_  ( P `  U. k ) )
7659, 75eqsstrrd 3184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  1o  C_  ( P `  U. k
) )
7751, 76eqssd 3164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 U. k )  =  1o )
78 nndceq0 4602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  om  -> DECID  k  =  (/) )
79 exmiddc 831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (DECID  k  =  (/)  ->  ( k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  om  ->  (
k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8180ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8242, 77, 81mpjaodan 793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. k )  =  1o )
83 simplr 525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( ( P `
 U. k )  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )
8482, 83mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )
85 fveqeq2 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  1o  <->  ( P `  k )  =  1o ) )
8685ralunsn 3784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  om  ->  ( A. x  e.  (
k  u.  { k } ) ( P `
 x )  =  1o  <->  ( A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o 
/\  ( P `  k )  =  1o ) ) )
8786ad3antlr 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( A. x  e.  ( k  u.  {
k } ) ( P `  x )  =  1o  <->  ( A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o  /\  ( P `  k )  =  1o ) ) )
8884, 41, 87mpbir2and 939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  ( k  u.  { k } ) ( P `
 x )  =  1o )
89 df-suc 4356 . . . . . . . . . . 11  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
9089raleqi 2669 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  ( k  u.  {
k } ) ( P `  x )  =  1o )
9188, 90sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o )
9291exp31 362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( (
( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )  ->  ( ( P `
 U. suc  k
)  =  1o  ->  A. x  e.  suc  k
( P `  x
)  =  1o ) ) )
9392expcom 115 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o )  -> 
( ( P `  U. suc  k )  =  1o  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) ) )
9493a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )  ->  ( ph  ->  ( ( P `  U. suc  k )  =  1o 
->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o ) ) ) )
95 impexp 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o )  ->  A. x  e.  k 
( P `  x
)  =  1o )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) ) )
96 impexp 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( ( P `  U. suc  k )  =  1o 
->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o ) ) )
9794, 95, 963imtr4g 204 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )  ->  ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k )  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) )
989, 14, 19, 24, 26, 97finds 4584 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) )
994, 98mpcom 36 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
1003, 99mpdan 419 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
101 nnnninfeq2.0 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
1021, 2, 100, 101nnnninfeq 7104 1  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   A.wral 2448    u. cun 3119    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583   U.cuni 3796    |-> cmpt 4050   Tr wtr 4087   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389    ^m cmap 6626  ℕxnninf 7096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097
This theorem is referenced by:  nninfisollemeq  7108
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