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Theorem nnnninfeq2 7073
Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ. Similar to nnnninfeq 7072 but if we have information about a single  1o digit, that gives information about all previous digits. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nnnninfeq2.p  |-  ( ph  ->  P  e. )
nnnninfeq2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nnnninfeq2.1  |-  ( ph  ->  ( P `  U. N )  =  1o )
nnnninfeq2.0  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nnnninfeq2  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N    ph, i
Allowed substitution hint:    P( i)

Proof of Theorem nnnninfeq2
Dummy variables  w  x  f  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnninfeq2.p . 2  |-  ( ph  ->  P  e. )
2 nnnninfeq2.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
3 nnnninfeq2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  U. N )  =  1o )
42adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  N  e.  om )
5 unieq 3782 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U. w  =  U. (/) )
65fveqeq2d 5477 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( P `  U. w
)  =  1o  <->  ( P `  U. (/) )  =  1o ) )
76anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o ) ) )
8 raleq 2652 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o ) )
97, 8imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o )  ->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o ) ) )
10 unieq 3782 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  U. w  =  U. k )
1110fveqeq2d 5477 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. k
)  =  1o ) )
1211anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o ) ) )
13 raleq 2652 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )
1412, 13imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) ) )
15 unieq 3782 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  k  ->  U. w  =  U. suc  k )
1615fveqeq2d 5477 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. suc  k )  =  1o ) )
1716anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  <-> 
( ph  /\  ( P `  U. suc  k
)  =  1o ) ) )
18 raleq 2652 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  suc  k
( P `  x
)  =  1o ) )
1917, 18imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k )  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) )
20 unieq 3782 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  N  ->  U. w  =  U. N )
2120fveqeq2d 5477 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
( P `  U. w )  =  1o  <->  ( P `  U. N
)  =  1o ) )
2221anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. w )  =  1o )  <->  ( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o ) ) )
23 raleq 2652 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) )
2422, 23imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. w
)  =  1o )  ->  A. x  e.  w  ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) ) )
25 ral0 3495 . . . . . 6  |-  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o
2625a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. (/) )  =  1o )  ->  A. x  e.  (/)  ( P `  x )  =  1o )
27 uni0 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (/)  =  (/)
28 unieq 3782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  (/)  ->  U. k  =  U. (/) )
29 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  (/)  ->  k  =  (/) )
3027, 28, 293eqtr4a 2216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  (/)  ->  U. k  =  k )
3130fveq2d 5473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  (/)  ->  ( P `
 U. k )  =  ( P `  k ) )
32 nnord 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
33 ordtr 4339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  k  ->  Tr  k
)
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  Tr  k )
3534ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  Tr  k )
36 unisucg 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  ( Tr  k  <->  U. suc  k  =  k ) )
3736ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( Tr  k  <->  U.
suc  k  =  k ) )
3835, 37mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  U. suc  k  =  k )
3938fveq2d 5473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. suc  k )  =  ( P `  k
) )
40 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. suc  k )  =  1o )
4139, 40eqtr3d 2192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  k )  =  1o )
4231, 41sylan9eqr 2212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  k  =  (/) )  ->  ( P `  U. k )  =  1o )
43 nninff 7067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  ->  P : om --> 2o )
441, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P : om --> 2o )
4544adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  P : om
--> 2o )
46 nnpredcl 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  U. k  e.  om )
4746adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  U. k  e.  om )
4845, 47ffvelrnd 5604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( P `  U. k )  e.  2o )
49 el2oss1o 6391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  U. k
)  e.  2o  ->  ( P `  U. k
)  C_  1o )
5048, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( P `  U. k )  C_  1o )
5150ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 U. k ) 
C_  1o )
52 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  k  e. 
om )
53 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  -.  k  =  (/) )
5453neqned 2334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  k  =/=  (/) )
55 nnsucpred 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  om  /\  k  =/=  (/) )  ->  suc  U. k  =  k )
5652, 54, 55syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  suc  U. k  =  k )
5756fveq2d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  =  ( P `
 k ) )
5841adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 k )  =  1o )
5957, 58eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  =  1o )
60 suceq 4363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  U. k  ->  suc  j  =  suc  U. k )
6160fveq2d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  U. k  -> 
( P `  suc  j )  =  ( P `  suc  U. k ) )
62 fveq2 5469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  U. k  -> 
( P `  j
)  =  ( P `
 U. k ) )
6361, 62sseq12d 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  U. k  -> 
( ( P `  suc  j )  C_  ( P `  j )  <->  ( P `  suc  U. k )  C_  ( P `  U. k ) ) )
64 fveq1 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  suc  j )  =  ( P `  suc  j ) )
65 fveq1 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  j )  =  ( P `  j ) )
6664, 65sseq12d 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  P  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) ) )
6766ralbidv 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  P  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
68 df-nninf 7065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
6967, 68elrab2 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e.  <->  ( P  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
701, 69sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) ) )
7170simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
7271ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
7346ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  U. k  e.  om )
7463, 72, 73rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  suc  U. k )  C_  ( P `  U. k
) )
7574adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 suc  U. k
)  C_  ( P `  U. k ) )
7659, 75eqsstrrd 3165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  1o  C_  ( P `  U. k
) )
7751, 76eqssd 3145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  /\  -.  k  =  (/) )  ->  ( P `
 U. k )  =  1o )
78 nndceq0 4578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  om  -> DECID  k  =  (/) )
79 exmiddc 822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (DECID  k  =  (/)  ->  ( k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  om  ->  (
k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8180ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( k  =  (/)  \/  -.  k  =  (/) ) )
8242, 77, 81mpjaodan 788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( P `  U. k )  =  1o )
83 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( ( P `
 U. k )  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )
8482, 83mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )
85 fveqeq2 5478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  1o  <->  ( P `  k )  =  1o ) )
8685ralunsn 3761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  om  ->  ( A. x  e.  (
k  u.  { k } ) ( P `
 x )  =  1o  <->  ( A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o 
/\  ( P `  k )  =  1o ) ) )
8786ad3antlr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  ( A. x  e.  ( k  u.  {
k } ) ( P `  x )  =  1o  <->  ( A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o  /\  ( P `  k )  =  1o ) ) )
8884, 41, 87mpbir2and 929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  ( k  u.  { k } ) ( P `
 x )  =  1o )
89 df-suc 4332 . . . . . . . . . . 11  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
9089raleqi 2656 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o  <->  A. x  e.  ( k  u.  {
k } ) ( P `  x )  =  1o )
9188, 90sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  ( ( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o ) )  /\  ( P `
 U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o )
9291exp31 362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( (
( P `  U. k )  =  1o 
->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )  ->  ( ( P `
 U. suc  k
)  =  1o  ->  A. x  e.  suc  k
( P `  x
)  =  1o ) ) )
9392expcom 115 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o )  -> 
( ( P `  U. suc  k )  =  1o  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) ) )
9493a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) )  ->  ( ph  ->  ( ( P `  U. suc  k )  =  1o 
->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o ) ) ) )
95 impexp 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. k )  =  1o )  ->  A. x  e.  k 
( P `  x
)  =  1o )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  U. k
)  =  1o  ->  A. x  e.  k  ( P `  x )  =  1o ) ) )
96 impexp 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( ( P `  U. suc  k )  =  1o 
->  A. x  e.  suc  k ( P `  x )  =  1o ) ) )
9794, 95, 963imtr4g 204 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( ph  /\  ( P `  U. k
)  =  1o )  ->  A. x  e.  k  ( P `  x
)  =  1o )  ->  ( ( ph  /\  ( P `  U. suc  k )  =  1o )  ->  A. x  e.  suc  k ( P `
 x )  =  1o ) ) )
989, 14, 19, 24, 26, 97finds 4560 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  (
( ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o ) )
994, 98mpcom 36 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( P `  U. N )  =  1o )  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
1003, 99mpdan 418 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
101 nnnninfeq2.0 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
1021, 2, 100, 101nnnninfeq 7072 1  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   A.wral 2435    u. cun 3100    C_ wss 3102   (/)c0 3394   ifcif 3505   {csn 3560   U.cuni 3773    |-> cmpt 4026   Tr wtr 4063   Ord word 4323   suc csuc 4326   omcom 4550   -->wf 5167   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   1oc1o 6357   2oc2o 6358    ^m cmap 6594  ℕxnninf 7064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1o 6364  df-2o 6365  df-map 6596  df-nninf 7065
This theorem is referenced by:  nninfisollemeq  7076
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