Theorem nnnninfeq2 7459

Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ_∞. Similar to nnnninfeq 7458 but if we have information about a single 1o digit, that gives information about all previous digits. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfeq2.p	|- ( ph -> P e. ℕ∞ )
nnnninfeq2.n	|- ( ph -> N e. om )
nnnninfeq2.1	|- ( ph -> ( P ` U. N ) = 1o )
nnnninfeq2.0	|- ( ph -> ( P ` N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nnnninfeq2	|- ( ph -> P = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N   ph, i

Allowed substitution hint:   P( i)

Proof of Theorem nnnninfeq2

Dummy variables w x f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfeq2.p	. 2 |- ( ph -> P e. ℕ∞ )
2		nnnninfeq2.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
3		nnnninfeq2.1	. . 3 |- ( ph -> ( P ` U. N ) = 1o )
4	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) -> N e. om )
5		unieq 3939	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> U. w = U. (/) )
6	5	fveqeq2d 5698	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( P ` U. w ) = 1o <-> ( P ` U. (/) ) = 1o ) )
7	6	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) <-> ( ph /\ ( P ` U. (/) ) = 1o ) ) )
8		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. (/) ( P ` x ) = 1o ) )
9	7, 8	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) -> A. x e. w ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ( ph /\ ( P ` U. (/) ) = 1o ) -> A. x e. (/) ( P ` x ) = 1o ) ) )
10		unieq 3939	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> U. w = U. k )
11	10	fveqeq2d 5698	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( ( P ` U. w ) = 1o <-> ( P ` U. k ) = 1o ) )
12	11	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) <-> ( ph /\ ( P ` U. k ) = 1o ) ) )
13		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A. x e. w ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) -> A. x e. w ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ( ph /\ ( P ` U. k ) = 1o ) -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) )
15		unieq 3939	. . . . . . . 8 |- ( w = suc k -> U. w = U. suc k )
16	15	fveqeq2d 5698	. . . . . . 7 |- ( w = suc k -> ( ( P ` U. w ) = 1o <-> ( P ` U. suc k ) = 1o ) )
17	16	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = suc k -> ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) <-> ( ph /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) ) )
18		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( w = suc k -> ( A. x e. w ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) -> A. x e. w ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ( ph /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) )
20		unieq 3939	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> U. w = U. N )
21	20	fveqeq2d 5698	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( ( P ` U. w ) = 1o <-> ( P ` U. N ) = 1o ) )
22	21	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) <-> ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) ) )
23		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A. x e. w ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. N ( P ` x ) = 1o ) )
24	22, 23	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. w ) = 1o ) -> A. x e. w ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) -> A. x e. N ( P ` x ) = 1o ) ) )
25		ral0 3626	. . . . . 6 |- A. x e. (/) ( P ` x ) = 1o
26	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P ` U. (/) ) = 1o ) -> A. x e. (/) ( P ` x ) = 1o )
27		uni0 3957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. (/) = (/)
28		unieq 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = (/) -> U. k = U. (/) )
29		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = (/) -> k = (/) )
30	27, 28, 29	3eqtr4a 2297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = (/) -> U. k = k )
31	30	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = (/) -> ( P ` U. k ) = ( P ` k ) )
32		nnord 4754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. om -> Ord k )
33		ordtr 4518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord k -> Tr k )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> Tr k )
35	34	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> Tr k )
36		unisucg 4554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> ( Tr k <-> U. suc k = k ) )
37	36	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( Tr k <-> U. suc k = k ) )
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> U. suc k = k )
39	38	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` U. suc k ) = ( P ` k ) )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` U. suc k ) = 1o )
41	39, 40	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` k ) = 1o )
42	31, 41	sylan9eqr 2293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ k = (/) ) -> ( P ` U. k ) = 1o )
43		nninff 7452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ℕ∞ -> P : om --> 2o )
44	1, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P : om --> 2o )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> P : om --> 2o )
46		nnpredcl 4765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> U. k e. om )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> U. k e. om )
48	45, 47	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( P ` U. k ) e. 2o )
49		el2oss1o 6706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` U. k ) e. 2o -> ( P ` U. k ) C_ 1o )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( P ` U. k ) C_ 1o )
51	50	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` U. k ) C_ 1o )
52		simp-4r 548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> k e. om )
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> -. k = (/) )
54	53	neqned 2427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> k =/= (/) )
55		nnsucpred 4759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. om /\ k =/= (/) ) -> suc U. k = k )
56	52, 54, 55	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> suc U. k = k )
57	56	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` suc U. k ) = ( P ` k ) )
58	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` k ) = 1o )
59	57, 58	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` suc U. k ) = 1o )
60		suceq 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = U. k -> suc j = suc U. k )
61	60	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = U. k -> ( P ` suc j ) = ( P ` suc U. k ) )
62		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = U. k -> ( P ` j ) = ( P ` U. k ) )
63	61, 62	sseq12d 3279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = U. k -> ( ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) <-> ( P ` suc U. k ) C_ ( P ` U. k ) ) )
64		fveq1 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = P -> ( f ` suc j ) = ( P ` suc j ) )
65		fveq1 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = P -> ( f ` j ) = ( P ` j ) )
66	64, 65	sseq12d 3279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = P -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
67	66	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = P -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
68		df-nninf 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
69	67, 68	elrab2 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ℕ∞ <-> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
70	1, 69	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
71	70	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) )
72	71	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) )
73	46	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> U. k e. om )
74	63, 72, 73	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` suc U. k ) C_ ( P ` U. k ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` suc U. k ) C_ ( P ` U. k ) )
76	59, 75	eqsstrrd 3285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> 1o C_ ( P ` U. k ) )
77	51, 76	eqssd 3265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) /\ -. k = (/) ) -> ( P ` U. k ) = 1o )
78		nndceq0 4760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. om -> DECID k = (/) )
79		exmiddc 848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (DECID k = (/) -> ( k = (/) \/ -. k = (/) ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> ( k = (/) \/ -. k = (/) ) )
81	80	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( k = (/) \/ -. k = (/) ) )
82	42, 77, 81	mpjaodan 810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( P ` U. k ) = 1o )
83		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) )
84	82, 83	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o )
85		fveqeq2 5699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( ( P ` x ) = 1o <-> ( P ` k ) = 1o ) )
86	85	ralunsn 3918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( A. x e. ( k u. { k } ) ( P ` x ) = 1o <-> ( A. x e. k ( P ` x ) = 1o /\ ( P ` k ) = 1o ) ) )
87	86	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> ( A. x e. ( k u. { k } ) ( P ` x ) = 1o <-> ( A. x e. k ( P ` x ) = 1o /\ ( P ` k ) = 1o ) ) )
88	84, 41, 87	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. ( k u. { k } ) ( P ` x ) = 1o )
89		df-suc 4511	. . . . . . . . . . 11 |- suc k = ( k u. { k } )
90	89	raleqi 2753	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o <-> A. x e. ( k u. { k } ) ( P ` x ) = 1o )
91	88, 90	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o )
92	91	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) -> ( ( P ` U. suc k ) = 1o -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) )
93	92	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> ( ph -> ( ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) -> ( ( P ` U. suc k ) = 1o -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) ) )
94	93	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. om -> ( ( ph -> ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) -> ( ph -> ( ( P ` U. suc k ) = 1o -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) ) )
95		impexp 263	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P ` U. k ) = 1o ) -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ph -> ( ( P ` U. k ) = 1o -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) ) )
96		impexp 263	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) <-> ( ph -> ( ( P ` U. suc k ) = 1o -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) )
97	94, 95, 96	3imtr4g 205	. . . . 5 |- ( k e. om -> ( ( ( ph /\ ( P ` U. k ) = 1o ) -> A. x e. k ( P ` x ) = 1o ) -> ( ( ph /\ ( P ` U. suc k ) = 1o ) -> A. x e. suc k ( P ` x ) = 1o ) ) )
98	9, 14, 19, 24, 26, 97	finds 4742	. . . 4 |- ( N e. om -> ( ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) -> A. x e. N ( P ` x ) = 1o ) )
99	4, 98	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ph /\ ( P ` U. N ) = 1o ) -> A. x e. N ( P ` x ) = 1o )
100	3, 99	mpdan 425	. 2 |- ( ph -> A. x e. N ( P ` x ) = 1o )
101		nnnninfeq2.0	. 2 |- ( ph -> ( P ` N ) = (/) )
102	1, 2, 100, 101	nnnninfeq 7458	1 |- ( ph -> P = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   {csn 3705   U.cuni 3930   |-> cmpt 4187   Tr wtr 4224   Ord word 4502   suc csuc 4505   omcom 4732   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ^m cmap 6912  ℕ_∞xnninf 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-nninf 7450

This theorem is referenced by:  nninfisollemeq  7462  nnnninfex  16970