Theorem xnn0nemnf 9143

Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0nemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xnn0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 9134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 9078	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	renemnfd 7908	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ -∞)
4		pnfnemnf 7911	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ -∞
5		neeq1 2337	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
6	4, 5	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
7	3, 6	jaoi 706	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
8	1, 7	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ≠ wne 2324  +∞cpnf 7888  -∞cmnf 7889  ℕ₀cn0 9069  ℕ₀^*cxnn0 9132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1re 7805  ax-addrcl 7808  ax-rnegex 7820

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-uni 3769  df-int 3804  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-inn 8813  df-n0 9070  df-xnn0 9133

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  9144