Theorem xnn0nemnf 9520

Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0nemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xnn0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 9511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 9453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	renemnfd 8273	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ -∞)
4		pnfnemnf 8276	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ -∞
5		neeq1 2416	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
6	4, 5	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
7	3, 6	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  +∞cpnf 8253  -∞cmnf 8254  ℕ₀cn0 9444  ℕ₀^*cxnn0 9509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-rnegex 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-inn 9186  df-n0 9445  df-xnn0 9510

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  9521