Theorem xnn0nemnf 9641

Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0nemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xnn0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 9632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 9572	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	renemnfd 8377	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ -∞)
4		pnfnemnf 8380	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ -∞
5		neeq1 2433	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
6	4, 5	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
7	3, 6	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  +∞cpnf 8357  -∞cmnf 8358  ℕ₀cn0 9563  ℕ₀^*cxnn0 9630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-inn 9305  df-n0 9564  df-xnn0 9631

This theorem is used by:  xnn0xrnemnf  9642