Theorem xnn0nemnf 9253

Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0nemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xnn0nemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 9244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 9188	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	renemnfd 8012	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ -∞)
4		pnfnemnf 8015	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ -∞
5		neeq1 2360	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
6	4, 5	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
7	3, 6	jaoi 716	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  +∞cpnf 7992  -∞cmnf 7993  ℕ₀cn0 9179  ℕ₀^*cxnn0 9242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911  ax-rnegex 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-inn 8923  df-n0 9180  df-xnn0 9243

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  9254