Theorem pnfnemnf 8010

Description: Plus and minus infinity are different elements of RR*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	|- +oo =/= -oo

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8008	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		pwne 4160	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> ~P +oo =/= +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ~P +oo =/= +oo
4	3	necomi 2432	. 2 |- +oo =/= ~P +oo
5		df-mnf 7993	. 2 |- -oo = ~P +oo
6	4, 5	neeqtrri 2376	1 |- +oo =/= -oo

Syntax hints:   e. wcel 2148   =/= wne 2347   ~Pcpw 3575   +oocpnf 7987   -oocmnf 7988   RR*cxr 7989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-un 4433  ax-cnex 7901

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8011  xnn0nemnf  9248  xrnemnf  9775  xrltnr  9777  pnfnlt  9785  nltmnf  9786  ngtmnft  9815  xrmnfdc  9841  xaddpnf1  9844  xaddnemnf  9855  xposdif  9880  xleaddadd  9885