Theorem pnfnemnf 7820

Description: Plus and minus infinity are different elements of RR*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	|- +oo =/= -oo

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7818	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		pwne 4084	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> ~P +oo =/= +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ~P +oo =/= +oo
4	3	necomi 2393	. 2 |- +oo =/= ~P +oo
5		df-mnf 7803	. 2 |- -oo = ~P +oo
6	4, 5	neeqtrri 2337	1 |- +oo =/= -oo

Syntax hints:   e. wcel 1480   =/= wne 2308   ~Pcpw 3510   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-un 4355  ax-cnex 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  7821  xnn0nemnf  9051  xrnemnf  9564  xrltnr  9566  pnfnlt  9573  nltmnf  9574  ngtmnft  9600  xrmnfdc  9626  xaddpnf1  9629  xaddnemnf  9640  xposdif  9665  xleaddadd  9670