Theorem pnfnemnf 7463

Description: Plus and minus infinity are different elements of RR*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	|- +oo =/= -oo

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7461	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		pwne 3963	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> ~P +oo =/= +oo )
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- ~P +oo =/= +oo
4	3	necomi 2336	. 2 |- +oo =/= ~P +oo
5		df-mnf 7446	. 2 |- -oo = ~P +oo
6	4, 5	neeqtrri 2280	1 |- +oo =/= -oo

Syntax hints:   e. wcel 1436   =/= wne 2251   ~Pcpw 3409   +oocpnf 7440   -oocmnf 7441   RR*cxr 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-un 4227  ax-cnex 7357

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-uni 3631  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  7464  xnn0nemnf  8657  xrnemnf  9157  xrltnr  9159  pnfnlt  9166  nltmnf  9167  ngtmnft  9189