Theorem 3eltr4d 2315

Description: Substitution of equal classes into membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
3eltr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3eltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3eltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3eltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem 3eltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3eltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
2		3eltr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		3eltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	eleqtrrd 2311	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	1, 4	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-ial 1582  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2224  df-clel 2227

This theorem is referenced by:  ovmpodxf  6146  nnaordi  6675  iccf1o  10238  ccatw2s1p1g  11221  nnmindc  12604  ennnfonelemrn  13039  ctiunctlemfo  13059  sgrppropd  13495  mndpropd  13522  issubmnd  13524  imasgrp  13697  mulgnndir  13737  subg0cl  13768  subginvcl  13769  subgcl  13770  rngcl  13956  rngpropd  13967  srgcl  13982  srgidcl  13988  ringidcl  14032  ringpropd  14050  dvdsrd  14107  dvrvald  14147  subrngmcl  14222  subrgmcl  14246  subrgunit  14252  lmodprop2d  14361  lidl0  14502  lidl1  14503  psraddcl  14693  wlkl1loop  16208  wlkres  16229  clwwlknonex2lem1  16287