Theorem 3eltr4d 2313

Description: Substitution of equal classes into membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
3eltr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3eltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3eltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3eltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem 3eltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3eltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
2		3eltr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		3eltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	eleqtrrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	1, 4	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2222  df-clel 2225

This theorem is referenced by:  ovmpodxf  6136  nnaordi  6662  iccf1o  10212  nnmindc  12570  ennnfonelemrn  13005  ctiunctlemfo  13025  sgrppropd  13461  mndpropd  13488  issubmnd  13490  imasgrp  13663  mulgnndir  13703  subg0cl  13734  subginvcl  13735  subgcl  13736  rngcl  13922  rngpropd  13933  srgcl  13948  srgidcl  13954  ringidcl  13998  ringpropd  14016  dvdsrd  14073  dvrvald  14113  subrngmcl  14188  subrgmcl  14212  subrgunit  14218  lmodprop2d  14327  lidl0  14468  lidl1  14469  psraddcl  14659  wlkl1loop  16099  wlkres  16118