Theorem 3eltr4d 2313

Description: Substitution of equal classes into membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
3eltr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3eltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3eltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3eltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem 3eltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3eltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
2		3eltr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		3eltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	eleqtrrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	1, 4	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2222  df-clel 2225

This theorem is referenced by:  ovmpodxf  6140  nnaordi  6669  iccf1o  10227  ccatw2s1p1g  11209  nnmindc  12592  ennnfonelemrn  13027  ctiunctlemfo  13047  sgrppropd  13483  mndpropd  13510  issubmnd  13512  imasgrp  13685  mulgnndir  13725  subg0cl  13756  subginvcl  13757  subgcl  13758  rngcl  13944  rngpropd  13955  srgcl  13970  srgidcl  13976  ringidcl  14020  ringpropd  14038  dvdsrd  14095  dvrvald  14135  subrngmcl  14210  subrgmcl  14234  subrgunit  14240  lmodprop2d  14349  lidl0  14490  lidl1  14491  psraddcl  14681  wlkl1loop  16146  wlkres  16165  clwwlknonex2lem1  16222