Theorem 3eltr4d 2288

Description: Substitution of equal classes into membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
3eltr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3eltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3eltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3eltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem 3eltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3eltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
2		3eltr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		3eltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	eleqtrrd 2284	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	1, 4	eqeltrd 2281	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1469  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-ial 1556  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2197  df-clel 2200

This theorem is referenced by:  ovmpodxf  6070  nnaordi  6593  iccf1o  10125  nnmindc  12326  ennnfonelemrn  12761  ctiunctlemfo  12781  sgrppropd  13216  mndpropd  13243  issubmnd  13245  imasgrp  13418  mulgnndir  13458  subg0cl  13489  subginvcl  13490  subgcl  13491  rngcl  13677  rngpropd  13688  srgcl  13703  srgidcl  13709  ringidcl  13753  ringpropd  13771  dvdsrd  13827  dvrvald  13867  subrngmcl  13942  subrgmcl  13966  subrgunit  13972  lmodprop2d  14081  lidl0  14222  lidl1  14223  psraddcl  14413