Theorem 3eltr4d 2277

Description: Substitution of equal classes into membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
3eltr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3eltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3eltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3eltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem 3eltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3eltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
2		3eltr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		3eltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	eleqtrrd 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	1, 4	eqeltrd 2270	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-ial 1545  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2186  df-clel 2189

This theorem is referenced by:  ovmpodxf  6045  nnaordi  6563  iccf1o  10073  nnmindc  12174  ennnfonelemrn  12579  ctiunctlemfo  12599  sgrppropd  12999  mndpropd  13024  issubmnd  13026  imasgrp  13184  mulgnndir  13224  subg0cl  13255  subginvcl  13256  subgcl  13257  rngcl  13443  rngpropd  13454  srgcl  13469  srgidcl  13475  ringidcl  13519  ringpropd  13537  dvdsrd  13593  dvrvald  13633  subrngmcl  13708  subrgmcl  13732  subrgunit  13738  lmodprop2d  13847  lidl0  13988  lidl1  13989  psraddcl  14175