Theorem 3eltr4d 2315

Description: Substitution of equal classes into membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
3eltr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3eltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3eltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3eltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem 3eltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3eltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
2		3eltr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		3eltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	eleqtrrd 2311	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	1, 4	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-ial 1582  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2224  df-clel 2227

This theorem is referenced by:  ovmpodxf  6147  nnaordi  6676  iccf1o  10239  ccatw2s1p1g  11226  nnmindc  12623  ennnfonelemrn  13058  ctiunctlemfo  13078  sgrppropd  13514  mndpropd  13541  issubmnd  13543  imasgrp  13716  mulgnndir  13756  subg0cl  13787  subginvcl  13788  subgcl  13789  rngcl  13976  rngpropd  13987  srgcl  14002  srgidcl  14008  ringidcl  14052  ringpropd  14070  dvdsrd  14127  dvrvald  14167  subrngmcl  14242  subrgmcl  14266  subrgunit  14272  lmodprop2d  14381  lidl0  14522  lidl1  14523  psraddcl  14713  wlkl1loop  16228  wlkres  16249  clwwlknonex2lem1  16307