Theorem 3eltr4d 2313

Description: Substitution of equal classes into membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
3eltr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3eltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3eltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3eltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem 3eltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3eltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
2		3eltr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		3eltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	eleqtrrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	1, 4	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2222  df-clel 2225

This theorem is referenced by:  ovmpodxf  6142  nnaordi  6671  iccf1o  10229  ccatw2s1p1g  11212  nnmindc  12595  ennnfonelemrn  13030  ctiunctlemfo  13050  sgrppropd  13486  mndpropd  13513  issubmnd  13515  imasgrp  13688  mulgnndir  13728  subg0cl  13759  subginvcl  13760  subgcl  13761  rngcl  13947  rngpropd  13958  srgcl  13973  srgidcl  13979  ringidcl  14023  ringpropd  14041  dvdsrd  14098  dvrvald  14138  subrngmcl  14213  subrgmcl  14237  subrgunit  14243  lmodprop2d  14352  lidl0  14493  lidl1  14494  psraddcl  14684  wlkl1loop  16155  wlkres  16174  clwwlknonex2lem1  16232