Theorem 3eltr4d 2273

Description: Substitution of equal classes into membership relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
3eltr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3eltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3eltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3eltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Proof of Theorem 3eltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3eltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
2		3eltr4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		3eltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	eleqtrrd 2269	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	1, 4	eqeltrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-ial 1545  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2182  df-clel 2185

This theorem is referenced by:  ovmpodxf  6023  nnaordi  6534  iccf1o  10036  nnmindc  12070  ennnfonelemrn  12473  ctiunctlemfo  12493  sgrppropd  12891  mndpropd  12916  issubmnd  12918  imasgrp  13068  mulgnndir  13108  subg0cl  13138  subginvcl  13139  subgcl  13140  rngcl  13315  rngpropd  13326  srgcl  13341  srgidcl  13347  ringidcl  13391  ringpropd  13409  dvdsrd  13461  dvrvald  13501  subrngmcl  13573  subrgmcl  13597  subrgunit  13603  lmodprop2d  13681  lidl0  13822  lidl1  13823  psraddcl  13973