Theorem subgcl 13794

Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2230	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2230	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2230	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3	subggrp 13787	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	4	3ad2ant1 1044	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6		simp2 1024	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	3	subgbas 13788	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
8	7	3ad2ant1 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	6, 8	eleqtrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10		simp3 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
11	10, 8	eleqtrd 2309	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
12	1, 2, 5, 9, 11	grpcld 13620	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
13		eqidd 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆))
14		subgcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
15	14	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘𝐺))
16		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		subgrcl 13789	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
18	13, 15, 16, 17	ressplusgd 13235	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
19	18	3ad2ant1 1044	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
20	19	oveqd 6040	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌))
21	12, 20, 8	3eltr4d 2314	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105   ↾_s cress 13106  +_gcplusg 13183  Grpcgrp 13606  SubGrpcsubg 13777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-subg 13780

This theorem is referenced by:  subgsubcl  13795  subgmulgcl  13797  issubg2m  13799  subgintm  13808  ssnmz  13821  eqger  13834  eqgcpbl  13838  resghm  13870  ghmpreima  13876  subrngacl  14246  subrgacl  14270  islss4  14420  dflidl2rng  14519