ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subgcl GIF version

Theorem subgcl 12975
Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subgcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgcl ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2 eqid 2177 . . 3 (+g‘(𝐺s 𝑆)) = (+g‘(𝐺s 𝑆))
3 eqid 2177 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
43subggrp 12968 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
543ad2ant1 1018 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
6 simp2 998 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
73subgbas 12969 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
873ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
96, 8eleqtrd 2256 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
10 simp3 999 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
1110, 8eleqtrd 2256 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
121, 2, 5, 9, 11grpcld 12822 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋(+g‘(𝐺s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
13 eqidd 2178 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆))
14 subgcl.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
1514a1i 9 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g𝐺))
16 id 19 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 subgrcl 12970 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1813, 15, 16, 17ressplusgd 12579 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
19183ad2ant1 1018 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
2019oveqd 5889 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐺s 𝑆))𝑌))
2112, 20, 83eltr4d 2261 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  s cress 12455  +gcplusg 12528  Grpcgrp 12809  SubGrpcsubg 12958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-subg 12961
This theorem is referenced by:  subgsubcl  12976  subgmulgcl  12978  issubg2m  12980  subgintm  12989  ssnmz  13002  eqger  13014  eqgcpbl  13018  subrgacl  13291
  Copyright terms: Public domain W3C validator