Theorem subgcl 13940

Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2234	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3	subggrp 13933	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	4	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	3	subgbas 13934	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
8	7	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	6, 8	eleqtrd 2313	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
11	10, 8	eleqtrd 2313	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
12	1, 2, 5, 9, 11	grpcld 13772	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
13		eqidd 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆))
14		subgcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
15	14	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘𝐺))
16		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		subgrcl 13935	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
18	13, 15, 16, 17	ressplusgd 13429	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
19	18	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
20	19	oveqd 6075	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌))
21	12, 20, 8	3eltr4d 2318	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13299   ↾_s cress 13300  +_gcplusg 13377  Grpcgrp 13758  SubGrpcsubg 13923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-subg 13926

This theorem is referenced by:  subgsubcl  13941  subgmulgcl  13943  issubg2m  13945  subgintm  13954  ssnmz  13967  eqger  13980  eqgcpbl  13984  resghm  14016  ghmpreima  14022  subrngacl  14457  subrgacl  14481  islss4  14659  dflidl2rng  14758