Theorem subrgmcl 14162

Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgmcl.p	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgmcl	⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrgmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 14153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
4		simp2 1003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	1	subrgbas 14159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
7	4, 6	eleqtrd 2288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
8		simp3 1004	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	8, 6	eleqtrd 2288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
11		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
12	10, 11	ringcl 13942	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
13	3, 7, 9, 12	syl3anc 1252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		subrgrcl 14155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
15		subrgmcl.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 15	ressmulrg 13144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Ring) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	14, 16	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
18	17	3ad2ant1 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
19	18	oveqd 5991	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
20	13, 19, 6	3eltr4d 2293	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998   ↾_s cress 12999  ._rcmulr 13077  Ringcrg 13925  SubRingcsubrg 14146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-subg 13673  df-mgp 13850  df-ring 13927  df-subrg 14148

This theorem is referenced by:  issubrg2  14170  subrgintm  14172  dvply2g  15405