ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subrgmcl GIF version

Theorem subrgmcl 13292
Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgmcl.p Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
subrgmcl ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrgmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . 5 (𝑅 β†Ύs 𝐴) = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
21subrgring 13283 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
323ad2ant1 1018 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
4 simp2 998 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
51subrgbas 13289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
653ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
74, 6eleqtrd 2256 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
8 simp3 999 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
98, 6eleqtrd 2256 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
10 eqid 2177 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
11 eqid 2177 . . . 4 (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
1210, 11ringcl 13127 . . 3 (((𝑅 β†Ύs 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))) β†’ (𝑋(.rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
133, 7, 9, 12syl3anc 1238 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋(.rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
14 subrgrcl 13285 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 subrgmcl.p . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
161, 15ressmulrg 12595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
1714, 16mpdan 421 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
18173ad2ant1 1018 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ Β· = (.rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
1918oveqd 5889 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))π‘Œ))
2013, 19, 63eltr4d 2261 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454   β†Ύs cress 12455  .rcmulr 12529  Ringcrg 13110  SubRingcsubrg 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-subg 12961  df-mgp 13062  df-ring 13112  df-subrg 13278
This theorem is referenced by:  issubrg2  13300  subrgintm  13302
  Copyright terms: Public domain W3C validator