Theorem subrgmcl 14039

Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgmcl.p	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgmcl	⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrgmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 14030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
4		simp2 1001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	1	subrgbas 14036	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
7	4, 6	eleqtrd 2285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
8		simp3 1002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	8, 6	eleqtrd 2285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
11		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
12	10, 11	ringcl 13819	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
13	3, 7, 9, 12	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		subrgrcl 14032	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
15		subrgmcl.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 15	ressmulrg 13021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Ring) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	14, 16	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
18	17	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
19	18	oveqd 5968	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
20	13, 19, 6	3eltr4d 2290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876   ↾_s cress 12877  ._rcmulr 12954  Ringcrg 13802  SubRingcsubrg 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-subg 13550  df-mgp 13727  df-ring 13804  df-subrg 14025

This theorem is referenced by:  issubrg2  14047  subrgintm  14049  dvply2g  15282