Theorem ringidcl 14039

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 14021	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	mndidcl 13518	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7		ringidcl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	ringidvalg 13980	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	1, 9	mgpbasg 13945	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11	6, 8, 10	3eltr4d 2315	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  Basecbs 13087  0_gc0g 13344  Mndcmnd 13504  mulGrpcmgp 13939  1_rcur 13978  Ringcrg 14015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-ring 14017

This theorem is referenced by:  ringid  14045  ringo2times  14047  ringcom  14050  ringnegl  14070  ringnegr  14071  ringmneg1  14072  ringmneg2  14073  ringressid  14082  imasring  14083  opprring  14098  dvdsrid  14120  dvdsrneg  14123  1unit  14127  ringinvdv  14165  elrhmunit  14197  isnzr2  14204  subrgid  14243  rrgnz  14288  lmod1cl  14335  lmodvsneg  14351  lmodsubvs  14363  lmodsubdi  14364  lmodsubdir  14365  lmodprop2d  14368  rmodislmod  14371  lssvnegcl  14396  mulgrhm  14629  zrhmulg  14640  psr1clfi  14708