Theorem ringidcl 13654

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 13636	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	mndidcl 13134	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7		ringidcl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	ringidvalg 13595	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	1, 9	mgpbasg 13560	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11	6, 8, 10	3eltr4d 2280	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  Basecbs 12705  0_gc0g 12960  Mndcmnd 13120  mulGrpcmgp 13554  1_rcur 13593  Ringcrg 13630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-mgp 13555  df-ur 13594  df-ring 13632

This theorem is referenced by:  ringid  13660  ringo2times  13662  ringcom  13665  ringnegl  13685  ringnegr  13686  ringmneg1  13687  ringmneg2  13688  ringressid  13697  imasring  13698  opprring  13713  dvdsrid  13734  dvdsrneg  13737  1unit  13741  ringinvdv  13779  elrhmunit  13811  isnzr2  13818  subrgid  13857  rrgnz  13902  lmod1cl  13949  lmodvsneg  13965  lmodsubvs  13977  lmodsubdi  13978  lmodsubdir  13979  lmodprop2d  13982  rmodislmod  13985  lssvnegcl  14010  mulgrhm  14243  zrhmulg  14254  psr1clfi  14322