ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccf1o GIF version

Theorem iccf1o 9991
Description: Describe a bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐵]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iccf1o.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
iccf1o ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iccf1o
StepHypRef Expression
1 iccf1o.1 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
2 0re 7948 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3 1re 7947 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
42, 3elicc2i 9926 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
54simp1bi 1012 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
65adantl 277 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76recnd 7976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 simpl2 1001 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 7976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9mulcld 7968 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐵) ∈ ℂ)
11 ax-1cn 7895 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
12 subcl 8146 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
1311, 7, 12sylancr 414 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
14 simpl1 1000 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1514recnd 7976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 7968 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
1710, 16addcomd 8098 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)))
18 lincmb01cmp 9990 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
1917, 18eqeltrd 2254 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 simpr 110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21 simpl1 1000 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 simpl2 1001 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
23 elicc2 9925 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
24233adant3 1017 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2524biimpa 296 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
2625simp1d 1009 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝐴𝐴) = (𝐴𝐴)
28 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)
2927, 28iccshftl 9983 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦𝐴) ∈ ((𝐴𝐴)[,](𝐵𝐴))))
3021, 22, 26, 21, 29syl22anc 1239 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦𝐴) ∈ ((𝐴𝐴)[,](𝐵𝐴))))
3120, 30mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦𝐴) ∈ ((𝐴𝐴)[,](𝐵𝐴)))
3226, 21resubcld 8328 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦𝐴) ∈ ℝ)
3332recnd 7976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦𝐴) ∈ ℂ)
34 difrp 9679 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
3534biimp3a 1345 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
3635adantr 276 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
3736rpcnd 9685 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
38 rpap0 9657 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ → (𝐵𝐴) # 0)
3936, 38syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵𝐴) # 0)
4033, 37, 39divcanap1d 8737 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) · (𝐵𝐴)) = (𝑦𝐴))
4137mul02d 8339 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵𝐴)) = 0)
4221recnd 7976 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342subidd 8246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝐴) = 0)
4441, 43eqtr4d 2213 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐴))
4537mulid2d 7966 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 · (𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
4644, 45oveq12d 5887 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴))) = ((𝐴𝐴)[,](𝐵𝐴)))
4731, 40, 463eltr4d 2261 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴))))
48 0red 7949 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
49 1red 7963 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
5032, 36rerpdivcld 9715 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
51 eqid 2177 . . . . 5 (0 · (𝐵𝐴)) = (0 · (𝐵𝐴))
52 eqid 2177 . . . . 5 (1 · (𝐵𝐴)) = (1 · (𝐵𝐴))
5351, 52iccdil 9985 . . . 4 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)) → (((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴)))))
5448, 49, 50, 36, 53syl22anc 1239 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) · (𝐵𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵𝐴))[,](1 · (𝐵𝐴)))))
5547, 54mpbird 167 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) ∈ (0[,]1))
56 eqcom 2179 . . . 4 (𝑥 = ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) ↔ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) = 𝑥)
5733adantrl 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦𝐴) ∈ ℂ)
587adantrr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
5937adantrl 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
6039adantrl 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵𝐴) # 0)
6157, 58, 59, 60divmulap3d 8771 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) = 𝑥 ↔ (𝑦𝐴) = (𝑥 · (𝐵𝐴))))
6256, 61bitrid 192 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) ↔ (𝑦𝐴) = (𝑥 · (𝐵𝐴))))
6326adantrl 478 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6463recnd 7976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
6542adantrl 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
668, 14resubcld 8328 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
676, 66remulcld 7978 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
6867adantrr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
6968recnd 7976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
7064, 65, 69subadd2d 8277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦𝐴) = (𝑥 · (𝐵𝐴)) ↔ ((𝑥 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = 𝑦))
71 eqcom 2179 . . . 4 (((𝑥 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = 𝑦𝑦 = ((𝑥 · (𝐵𝐴)) + 𝐴))
7270, 71bitrdi 196 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦𝐴) = (𝑥 · (𝐵𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵𝐴)) + 𝐴)))
737, 15mulcld 7968 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ ℂ)
7410, 73, 15subadd23d 8280 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
757, 9, 15subdid 8361 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)))
7675oveq1d 5884 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴))
77 1cnd 7964 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
7877, 7, 15subdird 8362 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)))
7915mulid2d 7966 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
8079oveq1d 5884 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
8178, 80eqtrd 2210 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
8281oveq2d 5885 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
8374, 76, 823eqtr4d 2220 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
8483adantrr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑥 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
8584eqeq2d 2189 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 = ((𝑥 · (𝐵𝐴)) + 𝐴) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
8662, 72, 853bitrd 214 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
871, 19, 55, 86f1ocnv2d 6069 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cmpt 4061  ccnv 4622  1-1-ontowf1o 5211  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  +crp 9640  [,]cicc 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-rp 9641  df-icc 9882
This theorem is referenced by:  iccen  9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator