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Theorem iccf1o 9940

Description: Describe a bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐵]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
iccf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))

**Assertion**
Ref	Expression
iccf1o	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ ^◡𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑥,𝑦)

**Proof of Theorem iccf1o**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccf1o.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
2		0re 7899	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 7898	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	elicc2i 9875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpl2 991	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 7919	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		ax-1cn 7846	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		subcl 8097	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 7, 12	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
14		simpl1 990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 7919	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
17	10, 16	addcomd 8049	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)))
18		lincmb01cmp 9939	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	17, 18	eqeltrd 2243	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21		simpl1 990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		simpl2 991	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
23		elicc2 9874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
24	23	3adant3 1007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
25	24	biimpa 294	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
26	25	simp1d 999	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27		eqid 2165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴)
28		eqid 2165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
29	27, 28	iccshftl 9932	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴))))
30	21, 22, 26, 21, 29	syl22anc 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴))))
31	20, 30	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴)))
32	26, 21	resubcld 8279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℝ)
33	32	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℂ)
34		difrp 9628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺))
35	34	biimp3a 1335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
36	35	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
37	36	rpcnd 9634	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
38		rpap0 9606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺ → (𝐵 − 𝐴) # 0)
39	36, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) # 0)
40	33, 37, 39	divcanap1d 8687	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑦 − 𝐴))
41	37	mul02d 8290	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
42	21	recnd 7927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	subidd 8197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
44	41, 43	eqtr4d 2201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
45	37	mulid2d 7917	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
46	44, 45	oveq12d 5860	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴)))
47	31, 40, 46	3eltr4d 2250	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))))
48		0red 7900	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
49		1red 7914	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
50	32, 36	rerpdivcld 9664	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
51		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (0 · (𝐵 − 𝐴))
52		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (1 · (𝐵 − 𝐴))
53	51, 52	iccdil 9934	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
54	48, 49, 50, 36, 53	syl22anc 1229	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
55	47, 54	mpbird 166	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1))
56		eqcom 2167	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑥)
57	33	adantrl 470	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℂ)
58	7	adantrr 471	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
59	37	adantrl 470	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
60	39	adantrl 470	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) # 0)
61	57, 58, 59, 60	divmulap3d 8721	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑥 ↔ (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴))))
62	56, 61	syl5bb 191	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴))))
63	26	adantrl 470	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	63	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
65	42	adantrl 470	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
66	8, 14	resubcld 8279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
67	6, 66	remulcld 7929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
68	67	adantrr 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
70	64, 65, 69	subadd2d 8228	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = 𝑦))
71		eqcom 2167	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴))
72	70, 71	bitrdi 195	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴)))
73	7, 15	mulcld 7919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ ℂ)
74	10, 73, 15	subadd23d 8231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
75	7, 9, 15	subdid 8312	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)))
76	75	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴))
77		1cnd 7915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
78	77, 7, 15	subdird 8313	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)))
79	15	mulid2d 7917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
80	79	oveq1d 5857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
81	78, 80	eqtrd 2198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
82	81	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
83	74, 76, 82	3eqtr4d 2208	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
84	83	adantrr 471	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
85	84	eqeq2d 2177	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
86	62, 72, 85	3bitrd 213	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
87	1, 19, 55, 86	f1ocnv2d 6042	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ ^◡𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∧ w3a 968 = wceq 1343 ∈ wcel 2136 class class class wbr 3982 ↦ cmpt 4043 ^◡ccnv 4603 –1-1-onto→wf1o 5187 (class class class)co 5842 ℂcc 7751 ℝcr 7752 0cc0 7753 1c1 7754 + caddc 7756 · cmul 7758 < clt 7933 ≤ cle 7934 − cmin 8069 # cap 8479 / cdiv 8568 ℝ⁺crp 9589 [,]cicc 9827

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-sep 4100 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-rp 9590 df-icc 9831

This theorem is referenced by: iccen 9942

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