Theorem nnmindc 12521

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9441	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
2		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
3		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
4		dfss5 3389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ ↔ 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
5	4	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
6		nnuz 9726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7	6	ineq1i 3381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴)
8		dfin5 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
9	7, 8	eqtri 2230	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
10	5, 9	eqtrdi 2258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
12	3, 11	eleqtrd 2288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
13		eleq1w 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
14	13	dcbid 842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑛 ∈ 𝐴))
15		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
16		elfznn 10218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ)
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	14, 15, 17	rspcdva 2892	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → DECID 𝑛 ∈ 𝐴)
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 10422	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
20	11	infeq1d 7147	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
21	19, 20, 11	3eltr4d 2293	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
22	21	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
23	22	exlimdv 1845	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
24	23	3impia 1205	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 838   ∧ w3a 983   = wceq 1375  ∃wex 1518   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  {crab 2492   ∩ cin 3176   ⊆ wss 3177  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  infcinf 7118  ℝcr 7966  1c1 7968   < clt 8149  ℕcn 9078  ℤ_≥cuz 9690  ...cfz 10172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-sup 7119  df-inf 7120  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-fzo 10307

This theorem is referenced by:  nnwodc  12523  nninfdclemcl  12985  nninfdclemp1  12987