Theorem nnmindc 12037

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9282	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
2		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
3		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
4		dfss5 3342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ ↔ 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
5	4	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
6		nnuz 9565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7	6	ineq1i 3334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴)
8		dfin5 3138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
9	7, 8	eqtri 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
10	5, 9	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
12	3, 11	eleqtrd 2256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
13		eleq1w 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
14	13	dcbid 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑛 ∈ 𝐴))
15		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
16		elfznn 10056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ)
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	14, 15, 17	rspcdva 2848	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → DECID 𝑛 ∈ 𝐴)
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 11954	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
20	11	infeq1d 7013	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
21	19, 20, 11	3eltr4d 2261	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
22	21	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
23	22	exlimdv 1819	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
24	23	3impia 1200	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  {crab 2459   ∩ cin 3130   ⊆ wss 3131  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  infcinf 6984  ℝcr 7812  1c1 7814   < clt 7994  ℕcn 8921  ℤ_≥cuz 9530  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145

This theorem is referenced by:  nnwodc  12039  nninfdclemcl  12451  nninfdclemp1  12453