Theorem nnmindc 12723

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9600	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
2		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
3		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
4		dfss5 3425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ ↔ 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
5	4	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
6		nnuz 9886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7	6	ineq1i 3417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴)
8		dfin5 3217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
9	7, 8	eqtri 2253	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
10	5, 9	eqtrdi 2281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
12	3, 11	eleqtrd 2311	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
13		eleq1w 2293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
14	13	dcbid 846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑛 ∈ 𝐴))
15		simpllr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
16		elfznn 10384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ)
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	14, 15, 17	rspcdva 2925	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → DECID 𝑛 ∈ 𝐴)
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 10591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
20	11	infeq1d 7302	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
21	19, 20, 11	3eltr4d 2316	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
22	21	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
23	22	exlimdv 1868	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
24	23	3impia 1227	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524   ∩ cin 3209   ⊆ wss 3210  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  infcinf 7273  ℝcr 8122  1c1 8124   < clt 8304  ℕcn 9233  ℤ_≥cuz 9849  ...cfz 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473

This theorem is referenced by:  nnwodc  12725  nninfdclemcl  13188  nninfdclemp1  13190