Theorem nnmindc 11963

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
2		eqid 2165	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
3		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
4		dfss5 3326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ ↔ 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
5	4	biimpi 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = (ℕ ∩ 𝐴))
6		nnuz 9497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7	6	ineq1i 3318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴)
8		dfin5 3122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
9	7, 8	eqtri 2186	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ∩ 𝐴) = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}
10	5, 9	eqtrdi 2214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
11	10	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
12	3, 11	eleqtrd 2244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
13		eleq1w 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
14	13	dcbid 828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑛 ∈ 𝐴))
15		simpllr 524	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
16		elfznn 9985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ)
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	14, 15, 17	rspcdva 2834	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑦)) → DECID 𝑛 ∈ 𝐴)
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 11880	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴})
20	11	infeq1d 6973	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑛 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
21	19, 20, 11	3eltr4d 2249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
22	21	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
23	22	exlimdv 1807	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
24	23	3impia 1190	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 824   ∧ w3a 968   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2443  {crab 2447   ∩ cin 3114   ⊆ wss 3115  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  infcinf 6944  ℝcr 7748  1c1 7750   < clt 7929  ℕcn 8853  ℤ_≥cuz 9462  ...cfz 9940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  nnwodc  11965  nninfdclemcl  12377  nninfdclemp1  12379