ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsrd GIF version

Theorem dvdsrd 13268
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsrvald.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
dvdsrvald.2 (๐œ‘ โ†’ โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…))
dvdsrvald.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
dvdsrvald.3 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
Assertion
Ref Expression
dvdsrd (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ต   ๐‘ง,๐‘‹   ๐‘ง,๐‘Œ   ๐‘ง,๐‘…   ๐‘ง, ยท   ๐œ‘,๐‘ง
Allowed substitution hint:   โˆฅ (๐‘ง)

Proof of Theorem dvdsrd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsrvald.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
2 reldvdsrsrg 13266 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ Rel (โˆฅrโ€˜๐‘…))
31, 2syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ Rel (โˆฅrโ€˜๐‘…))
4 dvdsrvald.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…))
54releqd 4712 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (Rel โˆฅ โ†” Rel (โˆฅrโ€˜๐‘…)))
63, 5mpbird 167 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ Rel โˆฅ )
7 brrelex12 4666 . . . 4 ((Rel โˆฅ โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V))
86, 7sylan 283 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V))
98ex 115 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V)))
10 simplr 528 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1110elexd 2752 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
12 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)
131ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
14 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
15 dvdsrvald.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
1615ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
1714, 16eleqtrd 2256 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1810, 16eleqtrd 2256 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
19 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
20 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
2119, 20srgcl 13158 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2213, 17, 18, 21syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
23 dvdsrvald.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
2423ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
2524oveqd 5894 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘‹))
2622, 25, 163eltr4d 2261 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2712, 26eqeltrrd 2255 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2827elexd 2752 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ V)
2911, 28jca 306 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V))
3029rexlimdvaa 2595 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V)))
3130expimpd 363 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V)))
3215, 4, 1, 23dvdsrvald 13267 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
3332adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V)) โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
3433breqd 4016 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V)) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” ๐‘‹{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}๐‘Œ))
35 simpl 109 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
3635eleq1d 2246 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
3735oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท ๐‘‹))
38 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
3937, 38eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
4039rexbidv 2478 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
4136, 40anbi12d 473 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
42 eqid 2177 . . . . . 6 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
4341, 42brabga 4266 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V) โ†’ (๐‘‹{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
4443adantl 277 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V)) โ†’ (๐‘‹{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
4534, 44bitrd 188 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V)) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
4645ex 115 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))))
479, 31, 46pm5.21ndd 705 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  {copab 4065  Rel wrel 4633  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  .rcmulr 12539  SRingcsrg 13151  โˆฅrcdsr 13260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mgp 13136  df-srg 13152  df-dvdsr 13263
This theorem is referenced by:  dvdsr2d  13269  dvdsrmuld  13270  dvdsrcld  13271  dvdsrcl2  13273  dvdsrtr  13275  dvdsrmul1  13276  opprunitd  13284  crngunit  13285  subrgdvds  13361
  Copyright terms: Public domain W3C validator