Theorem dvdsrd 13216

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrvald.3	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dvdsrd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑅   𝑧, ·   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   ∥ (𝑧)

Proof of Theorem dvdsrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrvald.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		reldvdsrsrg 13214	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r‘𝑅))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel (∥r‘𝑅))
4		dvdsrvald.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
5	4	releqd 4710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅)))
6	3, 5	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel ∥ )
7		brrelex12 4664	. . . 4 ⊢ ((Rel ∥ ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
8	6, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
10		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	elexd 2750	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ V)
12		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ SRing)
14		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
15		dvdsrvald.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
17	14, 16	eleqtrd 2256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
18	10, 16	eleqtrd 2256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	19, 20	srgcl 13106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
22	13, 17, 18, 21	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
23		dvdsrvald.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → · = (.r‘𝑅))
25	24	oveqd 5891	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑋))
26	22, 25, 16	3eltr4d 2261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27	12, 26	eqeltrrd 2255	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	27	elexd 2750	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
29	11, 28	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
30	29	rexlimdvaa 2595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
31	30	expimpd 363	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
32	15, 4, 1, 23	dvdsrvald 13215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
33	32	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
34	33	breqd 4014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌))
35		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
36	35	eleq1d 2246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	35	oveq2d 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑋))
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
39	37, 38	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
40	39	rexbidv 2478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
41	36, 40	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
42		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
43	41, 42	brabga 4264	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
44	43	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
45	34, 44	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
46	45	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))))
47	9, 31, 46	pm5.21ndd 705	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  Vcvv 2737   class class class wbr 4003  {copab 4063  Rel wrel 4631  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  ._rcmulr 12531  SRingcsrg 13099  ∥_rcdsr 13208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-mgp 13084  df-srg 13100  df-dvdsr 13211

This theorem is referenced by:  dvdsr2d  13217  dvdsrmuld  13218  dvdsrcld  13219  dvdsrcl2  13221  dvdsrtr  13223  dvdsrmul1  13224  opprunitd  13232  crngunit  13233  subrgdvds  13316