Theorem dvdsrd 14403

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrvald.3	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dvdsrd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑅   𝑧, ·   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   ∥ (𝑧)

Proof of Theorem dvdsrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrvald.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		reldvdsrsrg 14401	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r‘𝑅))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel (∥r‘𝑅))
4		dvdsrvald.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
5	4	releqd 4859	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅)))
6	3, 5	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel ∥ )
7		brrelex12 4813	. . . 4 ⊢ ((Rel ∥ ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
8	6, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
10		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	elexd 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ V)
12		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)
13	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ SRing)
14		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
15		dvdsrvald.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
17	14, 16	eleqtrd 2317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
18	10, 16	eleqtrd 2317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	19, 20	srgcl 14276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
22	13, 17, 18, 21	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
23		dvdsrvald.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
24	23	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → · = (.r‘𝑅))
25	24	oveqd 6102	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑋))
26	22, 25, 16	3eltr4d 2322	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27	12, 26	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	27	elexd 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
29	11, 28	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
30	29	rexlimdvaa 2669	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
31	30	expimpd 363	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
32	15, 4, 1, 23	dvdsrvald 14402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
33	32	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
34	33	breqd 4141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌))
35		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
36	35	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	35	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑋))
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
39	37, 38	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
40	39	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
41	36, 40	anbi12d 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
42		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
43	41, 42	brabga 4406	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
44	43	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
45	34, 44	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
46	45	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))))
47	9, 31, 46	pm5.21ndd 717	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   class class class wbr 4130  {copab 4191  Rel wrel 4779  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  ._rcmulr 13434  SRingcsrg 14269  ∥_rcdsr 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-mgp 14220  df-srg 14270  df-dvdsr 14397

This theorem is used by:  dvdsr2d  14404  dvdsrmuld  14405  dvdsrcld  14406  dvdsrcl2  14408  dvdsrtr  14410  dvdsrmul1  14411  opprunitd  14419  crngunit  14420  rhmdvdsr  14484  subrgdvds  14545  cnfldui  14926