Theorem dvdsrd 13650

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrvald.3	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dvdsrd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑅   𝑧, ·   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   ∥ (𝑧)

Proof of Theorem dvdsrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrvald.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		reldvdsrsrg 13648	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r‘𝑅))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel (∥r‘𝑅))
4		dvdsrvald.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
5	4	releqd 4747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅)))
6	3, 5	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel ∥ )
7		brrelex12 4701	. . . 4 ⊢ ((Rel ∥ ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
8	6, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
10		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	elexd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ V)
12		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ SRing)
14		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
15		dvdsrvald.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
17	14, 16	eleqtrd 2275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
18	10, 16	eleqtrd 2275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	19, 20	srgcl 13526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
22	13, 17, 18, 21	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
23		dvdsrvald.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → · = (.r‘𝑅))
25	24	oveqd 5939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑋))
26	22, 25, 16	3eltr4d 2280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27	12, 26	eqeltrrd 2274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	27	elexd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
29	11, 28	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
30	29	rexlimdvaa 2615	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
31	30	expimpd 363	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
32	15, 4, 1, 23	dvdsrvald 13649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
33	32	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
34	33	breqd 4044	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌))
35		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
36	35	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	35	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑋))
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
39	37, 38	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
40	39	rexbidv 2498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
41	36, 40	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
42		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
43	41, 42	brabga 4298	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
44	43	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
45	34, 44	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
46	45	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))))
47	9, 31, 46	pm5.21ndd 706	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  Vcvv 2763   class class class wbr 4033  {copab 4093  Rel wrel 4668  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  ._rcmulr 12756  SRingcsrg 13519  ∥_rcdsr 13642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mgp 13477  df-srg 13520  df-dvdsr 13645

This theorem is referenced by:  dvdsr2d  13651  dvdsrmuld  13652  dvdsrcld  13653  dvdsrcl2  13655  dvdsrtr  13657  dvdsrmul1  13658  opprunitd  13666  crngunit  13667  rhmdvdsr  13731  subrgdvds  13791  cnfldui  14145