Theorem dvdsrd 14058

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrvald.3	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dvdsrd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑅   𝑧, ·   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   ∥ (𝑧)

Proof of Theorem dvdsrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrvald.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		reldvdsrsrg 14056	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r‘𝑅))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel (∥r‘𝑅))
4		dvdsrvald.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
5	4	releqd 4803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅)))
6	3, 5	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel ∥ )
7		brrelex12 4757	. . . 4 ⊢ ((Rel ∥ ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
8	6, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
10		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	elexd 2813	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ V)
12		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ SRing)
14		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
15		dvdsrvald.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
17	14, 16	eleqtrd 2308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
18	10, 16	eleqtrd 2308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	19, 20	srgcl 13933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
22	13, 17, 18, 21	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
23		dvdsrvald.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → · = (.r‘𝑅))
25	24	oveqd 6018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑋))
26	22, 25, 16	3eltr4d 2313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27	12, 26	eqeltrrd 2307	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	27	elexd 2813	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
29	11, 28	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
30	29	rexlimdvaa 2649	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
31	30	expimpd 363	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
32	15, 4, 1, 23	dvdsrvald 14057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
33	32	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
34	33	breqd 4094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌))
35		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
36	35	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	35	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑋))
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
39	37, 38	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
40	39	rexbidv 2531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
41	36, 40	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
42		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
43	41, 42	brabga 4352	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
44	43	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
45	34, 44	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
46	45	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))))
47	9, 31, 46	pm5.21ndd 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   class class class wbr 4083  {copab 4144  Rel wrel 4724  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  Basecbs 13032  ._rcmulr 13111  SRingcsrg 13926  ∥_rcdsr 14049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-mgp 13884  df-srg 13927  df-dvdsr 14052

This theorem is referenced by:  dvdsr2d  14059  dvdsrmuld  14060  dvdsrcld  14061  dvdsrcl2  14063  dvdsrtr  14065  dvdsrmul1  14066  opprunitd  14074  crngunit  14075  rhmdvdsr  14139  subrgdvds  14199  cnfldui  14553