ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsrd GIF version

Theorem dvdsrd 13216
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsrvald.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2 (𝜑 = (∥r𝑅))
dvdsrvald.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
dvdsrvald.3 (𝜑· = (.r𝑅))
Assertion
Ref Expression
dvdsrd (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑅   𝑧, ·   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   (𝑧)

Proof of Theorem dvdsrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsrvald.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
2 reldvdsrsrg 13214 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r𝑅))
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝜑 → Rel (∥r𝑅))
4 dvdsrvald.2 . . . . . 6 (𝜑 = (∥r𝑅))
54releqd 4710 . . . . 5 (𝜑 → (Rel ↔ Rel (∥r𝑅)))
63, 5mpbird 167 . . . 4 (𝜑 → Rel )
7 brrelex12 4664 . . . 4 ((Rel 𝑋 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
86, 7sylan 283 . . 3 ((𝜑𝑋 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
98ex 115 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
10 simplr 528 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋𝐵)
1110elexd 2750 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ V)
12 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)
131ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ SRing)
14 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧𝐵)
15 dvdsrvald.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
1615ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
1714, 16eleqtrd 2256 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
1810, 16eleqtrd 2256 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2119, 20srgcl 13106 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑧(.r𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
2213, 17, 18, 21syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧(.r𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
23 dvdsrvald.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑· = (.r𝑅))
2423ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → · = (.r𝑅))
2524oveqd 5891 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) = (𝑧(.r𝑅)𝑋))
2622, 25, 163eltr4d 2261 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑧 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2712, 26eqeltrrd 2255 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌𝐵)
2827elexd 2750 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
2911, 28jca 306 . . . 4 (((𝜑𝑋𝐵) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
3029rexlimdvaa 2595 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → (∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
3130expimpd 363 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)))
3215, 4, 1, 23dvdsrvald 13215 . . . . . 6 (𝜑 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
3332adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
3433breqd 4014 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 𝑌𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌))
35 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
3635eleq1d 2246 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
3735oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑧 · 𝑥) = (𝑧 · 𝑋))
38 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
3937, 38eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
4039rexbidv 2478 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
4136, 40anbi12d 473 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → ((𝑥𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
42 eqid 2177 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
4341, 42brabga 4264 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
4443adantl 277 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
4534, 44bitrd 188 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
4645ex 115 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))))
479, 31, 46pm5.21ndd 705 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  Vcvv 2737   class class class wbr 4003  {copab 4063  Rel wrel 4631  cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  .rcmulr 12531  SRingcsrg 13099  rcdsr 13208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-mgp 13084  df-srg 13100  df-dvdsr 13211
This theorem is referenced by:  dvdsr2d  13217  dvdsrmuld  13218  dvdsrcld  13219  dvdsrcl2  13221  dvdsrtr  13223  dvdsrmul1  13224  opprunitd  13232  crngunit  13233  subrgdvds  13316
  Copyright terms: Public domain W3C validator