Theorem srgidcl 13813

Description: The unity element of a semiring belongs to the base set of the semiring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgidcl	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem srgidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 13805	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	mndidcl 13337	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7		srgidcl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	ringidvalg 13798	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		srgidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	1, 9	mgpbasg 13763	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11	6, 8, 10	3eltr4d 2290	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  Basecbs 12907  0_gc0g 13163  Mndcmnd 13323  mulGrpcmgp 13757  1_rcur 13796  SRingcsrg 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-srg 13801

This theorem is referenced by:  qusring2  13903  unitmulcl  13950  subrgintm  14080