Theorem srgidcl 14254

Description: The unity element of a semiring belongs to the base set of the semiring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgidcl	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem srgidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 14246	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	mndidcl 13720	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7		srgidcl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	ringidvalg 14239	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		srgidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	1, 9	mgpbasg 14200	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11	6, 8, 10	3eltr4d 2322	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  Basecbs 13330  0_gc0g 13587  Mndcmnd 13706  mulGrpcmgp 14194  1_rcur 14237  SRingcsrg 14241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-srg 14242

This theorem is referenced by:  qusring2  14344  unitmulcl  14393  subrgintm  14524