![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > srgcl | GIF version |
Description: Closure of the multiplication operation of a semiring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
srgcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
srgcl.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
srgcl | โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2177 | . . . . 5 โข (mulGrpโ๐ ) = (mulGrpโ๐ ) | |
2 | 1 | srgmgp 13156 | . . . 4 โข (๐ โ SRing โ (mulGrpโ๐ ) โ Mnd) |
3 | 2 | 3ad2ant1 1018 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (mulGrpโ๐ ) โ Mnd) |
4 | simp2 998 | . . . 4 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
5 | srgcl.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
6 | 1, 5 | mgpbasg 13141 | . . . . 5 โข (๐ โ SRing โ ๐ต = (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
7 | 6 | 3ad2ant1 1018 | . . . 4 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ต = (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
8 | 4, 7 | eleqtrd 2256 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
9 | simp3 999 | . . . 4 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
10 | 9, 7 | eleqtrd 2256 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
11 | eqid 2177 | . . . 4 โข (Baseโ(mulGrpโ๐ )) = (Baseโ(mulGrpโ๐ )) | |
12 | eqid 2177 | . . . 4 โข (+gโ(mulGrpโ๐ )) = (+gโ(mulGrpโ๐ )) | |
13 | 11, 12 | mndcl 12829 | . . 3 โข (((mulGrpโ๐ ) โ Mnd โง ๐ โ (Baseโ(mulGrpโ๐ )) โง ๐ โ (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) โ (๐(+gโ(mulGrpโ๐ ))๐) โ (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
14 | 3, 8, 10, 13 | syl3anc 1238 | . 2 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐(+gโ(mulGrpโ๐ ))๐) โ (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
15 | srgcl.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
16 | 1, 15 | mgpplusgg 13139 | . . . 4 โข (๐ โ SRing โ ยท = (+gโ(mulGrpโ๐ ))) |
17 | 16 | 3ad2ant1 1018 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ยท = (+gโ(mulGrpโ๐ ))) |
18 | 17 | oveqd 5894 | . 2 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (๐(+gโ(mulGrpโ๐ ))๐)) |
19 | 14, 18, 7 | 3eltr4d 2261 | 1 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 978 = wceq 1353 โ wcel 2148 โcfv 5218 (class class class)co 5877 Basecbs 12464 +gcplusg 12538 .rcmulr 12539 Mndcmnd 12822 mulGrpcmgp 13135 SRingcsrg 13151 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-addcom 7913 ax-addass 7915 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltadd 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-ltxr 7999 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-ndx 12467 df-slot 12468 df-base 12470 df-sets 12471 df-plusg 12551 df-mulr 12552 df-0g 12712 df-mgm 12780 df-sgrp 12813 df-mnd 12823 df-mgp 13136 df-srg 13152 |
This theorem is referenced by: srgfcl 13161 srgmulgass 13177 srgpcomppsc 13180 srglmhm 13181 srgrmhm 13182 reldvdsrsrg 13266 dvdsrvald 13267 dvdsrd 13268 dvdsrex 13272 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |