ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvrvald GIF version

Theorem dvrvald 13314
Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrvald.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
dvrvald.t (𝜑· = (.r𝑅))
dvrvald.u (𝜑𝑈 = (Unit‘𝑅))
dvrvald.i (𝜑𝐼 = (invr𝑅))
dvrvald.d (𝜑/ = (/r𝑅))
dvrvald.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
dvrvald.x (𝜑𝑋𝐵)
dvrvald.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvrvald (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem dvrvald
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrvald.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 dvrvald.t . . 3 (𝜑· = (.r𝑅))
3 dvrvald.u . . 3 (𝜑𝑈 = (Unit‘𝑅))
4 dvrvald.i . . 3 (𝜑𝐼 = (invr𝑅))
5 dvrvald.d . . 3 (𝜑/ = (/r𝑅))
6 dvrvald.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 ringsrg 13235 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
86, 7syl 14 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
91, 2, 3, 4, 5, 8dvrfvald 13313 . 2 (𝜑/ = (𝑥𝐵, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥 · (𝐼𝑦))))
10 simpl 109 . . . 4 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
11 fveq2 5517 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑌))
1211adantl 277 . . . 4 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑌))
1310, 12oveq12d 5896 . . 3 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑥 · (𝐼𝑦)) = (𝑋 · (𝐼𝑌)))
1413adantl 277 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 · (𝐼𝑦)) = (𝑋 · (𝐼𝑌)))
15 dvrvald.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
16 dvrvald.y . 2 (𝜑𝑌𝑈)
172oveqd 5895 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝐼𝑌)) = (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑌)))
1815, 1eleqtrd 2256 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19 eqidd 2178 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2016, 3eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
21 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
22 eqid 2177 . . . . . . . 8 (invr𝑅) = (invr𝑅)
2321, 22unitinvcl 13303 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
246, 20, 23syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
254fveq1d 5519 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑌) = ((invr𝑅)‘𝑌))
2624, 25, 33eltr4d 2261 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ 𝑈)
2719, 3, 8, 26unitcld 13288 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
28 eqid 2177 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29 eqid 2177 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3028, 29ringcl 13207 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
316, 18, 27, 30syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
3217, 31eqeltrd 2254 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝐼𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
339, 14, 15, 16, 32ovmpod 6005 1 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5218  (class class class)co 5878  Basecbs 12465  .rcmulr 12540  SRingcsrg 13157  Ringcrg 13190  Unitcui 13267  invrcinvr 13300  /rcdvr 13311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-tpos 6249  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-iress 12473  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-0g 12713  df-mgm 12782  df-sgrp 12815  df-mnd 12825  df-grp 12887  df-minusg 12888  df-cmn 13101  df-abl 13102  df-mgp 13142  df-ur 13154  df-srg 13158  df-ring 13192  df-oppr 13251  df-dvdsr 13269  df-unit 13270  df-invr 13301  df-dvr 13312
This theorem is referenced by:  dvrcl  13315  unitdvcl  13316  dvrid  13317  dvr1  13318  dvrass  13319  dvrcan1  13320  dvrdir  13323  rdivmuldivd  13324  ringinvdv  13325  subrgdv  13370
  Copyright terms: Public domain W3C validator