Theorem dvrvald 14550

Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvrvald.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
dvrvald.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
dvrvald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
dvrvald.d	⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
dvrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dvrvald

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrvald.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		dvrvald.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
3		dvrvald.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		dvrvald.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
5		dvrvald.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
6		dvrvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ringsrg 14459	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	dvrfvald 14549	. 2 ⊢ (𝜑 → / = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥 · (𝐼‘𝑦))))
10		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
11		fveq2 5698	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
13	10, 12	oveq12d 6106	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))
14	13	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))
15		dvrvald.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		dvrvald.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
17	2	oveqd 6105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐼‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)))
18	15, 1	eleqtrd 2317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	16, 3	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
21		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	21, 22	unitinvcl 14539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
24	6, 20, 23	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
25	4	fveq1d 5700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
26	24, 25, 3	3eltr4d 2322	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝑈)
27	19, 3, 8, 26	unitcld 14524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	28, 29	ringcl 14424	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
31	6, 18, 27, 30	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
32	17, 31	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 14, 15, 16, 32	ovmpod 6219	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  SRingcsrg 14374  Ringcrg 14407  Unitcui 14502  inv_rcinvr 14536  /_rcdvr 14547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-invr 14537  df-dvr 14548

This theorem is used by:  dvrcl  14551  unitdvcl  14552  dvrid  14553  dvr1  14554  dvrass  14555  dvrcan1  14556  dvrdir  14559  rdivmuldivd  14560  ringinvdv  14561  subrgdv  14655