ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvrvald GIF version

Theorem dvrvald 13341
Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrvald.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
dvrvald.t (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
dvrvald.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
dvrvald.i (πœ‘ β†’ 𝐼 = (invrβ€˜π‘…))
dvrvald.d (πœ‘ β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
dvrvald.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
dvrvald.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
dvrvald.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvrvald (πœ‘ β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem dvrvald
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrvald.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
2 dvrvald.t . . 3 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
3 dvrvald.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
4 dvrvald.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (invrβ€˜π‘…))
5 dvrvald.d . . 3 (πœ‘ β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
6 dvrvald.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 ringsrg 13262 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
86, 7syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SRing)
91, 2, 3, 4, 5, 8dvrfvald 13340 . 2 (πœ‘ β†’ / = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦))))
10 simpl 109 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ π‘₯ = 𝑋)
11 fveq2 5517 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘Œ))
1211adantl 277 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘Œ))
1310, 12oveq12d 5896 . . 3 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦)) = (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)))
1413adantl 277 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦)) = (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)))
15 dvrvald.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 dvrvald.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
172oveqd 5895 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘Œ)))
1815, 1eleqtrd 2256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
19 eqidd 2178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
2016, 3eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
21 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
22 eqid 2177 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2321, 22unitinvcl 13330 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
246, 20, 23syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
254fveq1d 5519 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
2624, 25, 33eltr4d 2261 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
2719, 3, 8, 26unitcld 13315 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
28 eqid 2177 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
29 eqid 2177 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3028, 29ringcl 13234 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
316, 18, 27, 30syl3anc 1238 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3217, 31eqeltrd 2254 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
339, 14, 15, 16, 32ovmpod 6005 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  Basecbs 12465  .rcmulr 12540  SRingcsrg 13184  Ringcrg 13217  Unitcui 13294  invrcinvr 13327  /rcdvr 13338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-tpos 6249  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-iress 12473  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-0g 12713  df-mgm 12782  df-sgrp 12815  df-mnd 12826  df-grp 12888  df-minusg 12889  df-cmn 13105  df-abl 13106  df-mgp 13147  df-ur 13181  df-srg 13185  df-ring 13219  df-oppr 13278  df-dvdsr 13296  df-unit 13297  df-invr 13328  df-dvr 13339
This theorem is referenced by:  dvrcl  13342  unitdvcl  13343  dvrid  13344  dvr1  13345  dvrass  13346  dvrcan1  13347  dvrdir  13350  rdivmuldivd  13351  ringinvdv  13352  subrgdv  13397
  Copyright terms: Public domain W3C validator