ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvrvald GIF version

Theorem dvrvald 13301
Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrvald.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
dvrvald.t (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
dvrvald.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
dvrvald.i (πœ‘ β†’ 𝐼 = (invrβ€˜π‘…))
dvrvald.d (πœ‘ β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
dvrvald.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
dvrvald.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
dvrvald.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvrvald (πœ‘ β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem dvrvald
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrvald.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
2 dvrvald.t . . 3 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
3 dvrvald.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
4 dvrvald.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (invrβ€˜π‘…))
5 dvrvald.d . . 3 (πœ‘ β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
6 dvrvald.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 ringsrg 13222 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
86, 7syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SRing)
91, 2, 3, 4, 5, 8dvrfvald 13300 . 2 (πœ‘ β†’ / = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦))))
10 simpl 109 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ π‘₯ = 𝑋)
11 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘Œ))
1211adantl 277 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘Œ))
1310, 12oveq12d 5892 . . 3 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦)) = (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)))
1413adantl 277 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦)) = (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)))
15 dvrvald.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 dvrvald.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
172oveqd 5891 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘Œ)))
1815, 1eleqtrd 2256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
19 eqidd 2178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
2016, 3eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
21 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
22 eqid 2177 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
2321, 22unitinvcl 13290 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
246, 20, 23syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
254fveq1d 5517 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
2624, 25, 33eltr4d 2261 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
2719, 3, 8, 26unitcld 13275 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
28 eqid 2177 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
29 eqid 2177 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3028, 29ringcl 13194 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
316, 18, 27, 30syl3anc 1238 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3217, 31eqeltrd 2254 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
339, 14, 15, 16, 32ovmpod 6001 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461  .rcmulr 12536  SRingcsrg 13144  Ringcrg 13177  Unitcui 13254  invrcinvr 13287  /rcdvr 13298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-tpos 6245  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-iress 12469  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-grp 12879  df-minusg 12880  df-cmn 13088  df-abl 13089  df-mgp 13129  df-ur 13141  df-srg 13145  df-ring 13179  df-oppr 13238  df-dvdsr 13256  df-unit 13257  df-invr 13288  df-dvr 13299
This theorem is referenced by:  dvrcl  13302  unitdvcl  13303  dvrid  13304  dvr1  13305  dvrass  13306  dvrcan1  13307  dvrdir  13310  rdivmuldivd  13311  ringinvdv  13312  subrgdv  13357
  Copyright terms: Public domain W3C validator