Theorem dvrvald 13766

Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvrvald.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
dvrvald.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
dvrvald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
dvrvald.d	⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
dvrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dvrvald

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrvald.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		dvrvald.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
3		dvrvald.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		dvrvald.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
5		dvrvald.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
6		dvrvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ringsrg 13679	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	dvrfvald 13765	. 2 ⊢ (𝜑 → / = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥 · (𝐼‘𝑦))))
10		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
11		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
13	10, 12	oveq12d 5943	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))
14	13	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))
15		dvrvald.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		dvrvald.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
17	2	oveqd 5942	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐼‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)))
18	15, 1	eleqtrd 2275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	16, 3	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
21		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	21, 22	unitinvcl 13755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
24	6, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
25	4	fveq1d 5563	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
26	24, 25, 3	3eltr4d 2280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝑈)
27	19, 3, 8, 26	unitcld 13740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	28, 29	ringcl 13645	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
31	6, 18, 27, 30	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
32	17, 31	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 14, 15, 16, 32	ovmpod 6054	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  ._rcmulr 12781  SRingcsrg 13595  Ringcrg 13628  Unitcui 13719  inv_rcinvr 13752  /_rcdvr 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-oppr 13700  df-dvdsr 13721  df-unit 13722  df-invr 13753  df-dvr 13764

This theorem is referenced by:  dvrcl  13767  unitdvcl  13768  dvrid  13769  dvr1  13770  dvrass  13771  dvrcan1  13772  dvrdir  13775  rdivmuldivd  13776  ringinvdv  13777  subrgdv  13870