Theorem dvrvald 14279

Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvrvald.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
dvrvald.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
dvrvald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
dvrvald.d	⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
dvrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dvrvald

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrvald.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		dvrvald.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
3		dvrvald.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		dvrvald.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
5		dvrvald.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
6		dvrvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ringsrg 14191	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	dvrfvald 14278	. 2 ⊢ (𝜑 → / = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥 · (𝐼‘𝑦))))
10		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
11		fveq2 5670	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
13	10, 12	oveq12d 6068	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))
14	13	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))
15		dvrvald.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		dvrvald.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
17	2	oveqd 6067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐼‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)))
18	15, 1	eleqtrd 2311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19		eqidd 2233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	16, 3	eleqtrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
21		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	21, 22	unitinvcl 14268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
24	6, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
25	4	fveq1d 5672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
26	24, 25, 3	3eltr4d 2316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝑈)
27	19, 3, 8, 26	unitcld 14253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	28, 29	ringcl 14157	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
31	6, 18, 27, 30	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
32	17, 31	eqeltrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 14, 15, 16, 32	ovmpod 6181	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  ._rcmulr 13291  SRingcsrg 14107  Ringcrg 14140  Unitcui 14231  inv_rcinvr 14265  /_rcdvr 14276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-tpos 6476  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-cmn 14003  df-abl 14004  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-srg 14108  df-ring 14142  df-oppr 14212  df-dvdsr 14233  df-unit 14234  df-invr 14266  df-dvr 14277

This theorem is referenced by:  dvrcl  14280  unitdvcl  14281  dvrid  14282  dvr1  14283  dvrass  14284  dvrcan1  14285  dvrdir  14288  rdivmuldivd  14289  ringinvdv  14290  subrgdv  14383