Theorem dvrvald 13838

Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvrvald.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
dvrvald.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
dvrvald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
dvrvald.d	⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
dvrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dvrvald

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrvald.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		dvrvald.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
3		dvrvald.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		dvrvald.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
5		dvrvald.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
6		dvrvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ringsrg 13751	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	dvrfvald 13837	. 2 ⊢ (𝜑 → / = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥 · (𝐼‘𝑦))))
10		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
11		fveq2 5575	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
13	10, 12	oveq12d 5961	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))
14	13	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))
15		dvrvald.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		dvrvald.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
17	2	oveqd 5960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐼‘𝑌)) = (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)))
18	15, 1	eleqtrd 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
19		eqidd 2205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	16, 3	eleqtrd 2283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
21		eqid 2204	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2204	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
23	21, 22	unitinvcl 13827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
24	6, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑅))
25	4	fveq1d 5577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) = ((invr‘𝑅)‘𝑌))
26	24, 25, 3	3eltr4d 2288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝑈)
27	19, 3, 8, 26	unitcld 13812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	28, 29	ringcl 13717	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
31	6, 18, 27, 30	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
32	17, 31	eqeltrd 2281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑅))
33	9, 14, 15, 16, 32	ovmpod 6072	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Basecbs 12774  ._rcmulr 12852  SRingcsrg 13667  Ringcrg 13700  Unitcui 13791  inv_rcinvr 13824  /_rcdvr 13835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-tpos 6330  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-iress 12782  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-cmn 13564  df-abl 13565  df-mgp 13625  df-ur 13664  df-srg 13668  df-ring 13702  df-oppr 13772  df-dvdsr 13793  df-unit 13794  df-invr 13825  df-dvr 13836

This theorem is referenced by:  dvrcl  13839  unitdvcl  13840  dvrid  13841  dvr1  13842  dvrass  13843  dvrcan1  13844  dvrdir  13847  rdivmuldivd  13848  ringinvdv  13849  subrgdv  13942