ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnndir GIF version
Theorem mulgnndir 13010
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mulgnndir.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
mulgnndir.p + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
mulgnndir ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) Β· 𝑋) = ((𝑀 Β· 𝑋) + (𝑁 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 12812 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Smgrp β†’ 𝐺 ∈ Mgm)
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜πΊ)
42, 3mgmcl 12777 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
51, 4syl3an1 1271 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
653expb 1204 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
76adantlr 477 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
82, 3sgrpass 12813 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
98adantlr 477 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
10 simpr2 1004 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
11 nnuz 9562 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1210, 11eleqtrdi 2270 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
13 simpr1 1003 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1413nnzd 9373 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15 eluzadd 9555 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀)))
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀)))
1713nncnd 8932 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1810nncnd 8932 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1917, 18addcomd 8107 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
20 ax-1cn 7903 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
21 addcom 8093 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2217, 20, 21sylancl 413 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2322fveq2d 5519 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀)))
2416, 19, 233eltr4d 2261 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
2513, 11eleqtrdi 2270 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
26 simpr3 1005 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2711, 26ialgrlemconst 12042 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
287, 9, 24, 25, 27seq3split 10478 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘€) + (seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁))))
2913, 10nnaddcld 8966 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•)
30 mulgnndir.t . . . 4 Β· = (.gβ€˜πΊ)
31 eqid 2177 . . . 4 seq1( + , (β„• Γ— {𝑋})) = seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))
322, 3, 30, 31mulgnn 12988 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 + 𝑁) Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)))
3329, 26, 32syl2anc 411 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)))
342, 3, 30, 31mulgnn 12988 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘€))
3513, 26, 34syl2anc 411 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘€))
36 elfznn 10053 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
37 fvconst2g 5730 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘₯) = 𝑋)
3826, 36, 37syl2an 289 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘₯) = 𝑋)
39 nnaddcl 8938 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ + 𝑀) ∈ β„•)
4036, 13, 39syl2anr 290 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ + 𝑀) ∈ β„•)
41 fvconst2g 5730 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ + 𝑀) ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(π‘₯ + 𝑀)) = 𝑋)
4226, 40, 41syl2an2r 595 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(π‘₯ + 𝑀)) = 𝑋)
4338, 42eqtr4d 2213 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘₯) = ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(π‘₯ + 𝑀)))
44 elnnuz 9563 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ β„• ↔ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4544biimpri 133 . . . . . 6 (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
46 fvconst2g 5730 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) = 𝑋)
47 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4846, 47eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
4948elexd 2750 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ V)
5026, 45, 49syl2an 289 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ V)
51 1nn 8929 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
5251a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ 1 ∈ β„•)
5313adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5452, 53nnaddcld 8966 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ (1 + 𝑀) ∈ β„•)
55 eluznn 9599 . . . . . . 7 (((1 + 𝑀) ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
5654, 55sylancom 420 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
5726, 56, 49syl2an2r 595 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ V)
58 simprl 529 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ 𝑒 ∈ V)
59 plusgslid 12570 . . . . . . . . 9 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
6059slotex 12488 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Smgrp β†’ (+gβ€˜πΊ) ∈ V)
613, 60eqeltrid 2264 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Smgrp β†’ + ∈ V)
6261ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ + ∈ V)
63 simprr 531 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ 𝑣 ∈ V)
64 ovexg 5908 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ V)
6558, 62, 63, 64syl3anc 1238 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ V)
6612, 14, 43, 50, 57, 65seq3shft2 10472 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) = (seq(1 + 𝑀)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑁 + 𝑀)))
672, 3, 30, 31mulgnn 12988 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
6810, 26, 67syl2anc 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
6922seqeq1d 10450 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋})) = seq(1 + 𝑀)( + , (β„• Γ— {𝑋})))
7069, 19fveq12d 5522 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (seq(1 + 𝑀)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑁 + 𝑀)))
7166, 68, 703eqtr4d 2220 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)))
7235, 71oveq12d 5892 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 Β· 𝑋) + (𝑁 Β· 𝑋)) = ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘€) + (seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁))))
7328, 33, 723eqtr4d 2220 1 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) Β· 𝑋) = ((𝑀 Β· 𝑋) + (𝑁 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  {csn 3592   Γ— cxp 4624  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„‚cc 7808  1c1 7811   + caddc 7813  β„•cn 8918  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  ...cfz 10007  seqcseq 10444  Basecbs 12461  +gcplusg 12535  Mgmcmgm 12772  Smgrpcsgrp 12806  .gcmg 12982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-seqfrec 10445  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-plusg 12548  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-minusg 12880  df-mulg 12983
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13011  mulgnnass  13016
  Copyright terms: Public domain W3C validator