ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnndir GIF version
Theorem mulgnndir 13017
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mulgnndir.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
mulgnndir.p + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
mulgnndir ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) Β· 𝑋) = ((𝑀 Β· 𝑋) + (𝑁 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 12818 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Smgrp β†’ 𝐺 ∈ Mgm)
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜πΊ)
42, 3mgmcl 12783 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
51, 4syl3an1 1271 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
653expb 1204 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
76adantlr 477 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
82, 3sgrpass 12819 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
98adantlr 477 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
10 simpr2 1004 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
11 nnuz 9565 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1210, 11eleqtrdi 2270 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
13 simpr1 1003 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1413nnzd 9376 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15 eluzadd 9558 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀)))
1612, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀)))
1713nncnd 8935 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1810nncnd 8935 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1917, 18addcomd 8110 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
20 ax-1cn 7906 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
21 addcom 8096 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2217, 20, 21sylancl 413 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2322fveq2d 5521 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀)))
2416, 19, 233eltr4d 2261 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
2513, 11eleqtrdi 2270 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
26 simpr3 1005 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2711, 26ialgrlemconst 12045 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
287, 9, 24, 25, 27seq3split 10481 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘€) + (seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁))))
2913, 10nnaddcld 8969 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•)
30 mulgnndir.t . . . 4 Β· = (.gβ€˜πΊ)
31 eqid 2177 . . . 4 seq1( + , (β„• Γ— {𝑋})) = seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))
322, 3, 30, 31mulgnn 12994 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 + 𝑁) Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)))
3329, 26, 32syl2anc 411 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)))
342, 3, 30, 31mulgnn 12994 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘€))
3513, 26, 34syl2anc 411 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘€))
36 elfznn 10056 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
37 fvconst2g 5732 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘₯) = 𝑋)
3826, 36, 37syl2an 289 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘₯) = 𝑋)
39 nnaddcl 8941 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ + 𝑀) ∈ β„•)
4036, 13, 39syl2anr 290 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ + 𝑀) ∈ β„•)
41 fvconst2g 5732 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ + 𝑀) ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(π‘₯ + 𝑀)) = 𝑋)
4226, 40, 41syl2an2r 595 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(π‘₯ + 𝑀)) = 𝑋)
4338, 42eqtr4d 2213 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘₯) = ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(π‘₯ + 𝑀)))
44 elnnuz 9566 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ β„• ↔ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4544biimpri 133 . . . . . 6 (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
46 fvconst2g 5732 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) = 𝑋)
47 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4846, 47eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
4948elexd 2752 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ V)
5026, 45, 49syl2an 289 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ V)
51 1nn 8932 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
5251a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ 1 ∈ β„•)
5313adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5452, 53nnaddcld 8969 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ (1 + 𝑀) ∈ β„•)
55 eluznn 9602 . . . . . . 7 (((1 + 𝑀) ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
5654, 55sylancom 420 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
5726, 56, 49syl2an2r 595 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ V)
58 simprl 529 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ 𝑒 ∈ V)
59 plusgslid 12573 . . . . . . . . 9 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
6059slotex 12491 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Smgrp β†’ (+gβ€˜πΊ) ∈ V)
613, 60eqeltrid 2264 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Smgrp β†’ + ∈ V)
6261ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ + ∈ V)
63 simprr 531 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ 𝑣 ∈ V)
64 ovexg 5911 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ V)
6558, 62, 63, 64syl3anc 1238 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ V)
6612, 14, 43, 50, 57, 65seq3shft2 10475 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) = (seq(1 + 𝑀)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑁 + 𝑀)))
672, 3, 30, 31mulgnn 12994 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
6810, 26, 67syl2anc 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
6922seqeq1d 10453 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋})) = seq(1 + 𝑀)( + , (β„• Γ— {𝑋})))
7069, 19fveq12d 5524 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (seq(1 + 𝑀)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑁 + 𝑀)))
7166, 68, 703eqtr4d 2220 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁)))
7235, 71oveq12d 5895 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 Β· 𝑋) + (𝑁 Β· 𝑋)) = ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘€) + (seq(𝑀 + 1)( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑀 + 𝑁))))
7328, 33, 723eqtr4d 2220 1 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) Β· 𝑋) = ((𝑀 Β· 𝑋) + (𝑁 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  {csn 3594   Γ— cxp 4626  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  1c1 7814   + caddc 7816  β„•cn 8921  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  ...cfz 10010  seqcseq 10447  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  Mgmcmgm 12778  Smgrpcsgrp 12812  .gcmg 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-minusg 12886  df-mulg 12989
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13018  mulgnnass  13023
  Copyright terms: Public domain W3C validator