Theorem mulgnndir 13405

Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnndir	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnndir

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrpmgm 13157	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mulgnndir.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnndir.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 13109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1282	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	5	3expb 1206	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	2, 3	sgrpass 13158	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	8	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		simpr2 1006	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnuz 9666	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	10, 11	eleqtrdi 2297	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
13		simpr1 1005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 9476	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		eluzadd 9659	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀)))
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀)))
17	13	nncnd 9032	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
18	10	nncnd 9032	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	17, 18	addcomd 8205	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
20		ax-1cn 8000	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
21		addcom 8191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
22	17, 20, 21	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
23	22	fveq2d 5574	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(1 + 𝑀)))
24	16, 19, 23	3eltr4d 2288	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
25	13, 11	eleqtrdi 2297	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
26		simpr3 1007	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	11, 26	ialgrlemconst 12284	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝐵)
28	7, 9, 24, 25, 27	seq3split 10614	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
29	13, 10	nnaddcld 9066	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
30		mulgnndir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
31		eqid 2204	. . . 4 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
32	2, 3, 30, 31	mulgnn 13380	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
33	29, 26, 32	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
34	2, 3, 30, 31	mulgnn 13380	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
35	13, 26, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
36		elfznn 10158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
37		fvconst2g 5788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
38	26, 36, 37	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
39		nnaddcl 9038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
40	36, 13, 39	syl2anr 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
41		fvconst2g 5788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
42	26, 40, 41	syl2an2r 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
43	38, 42	eqtr4d 2240	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)))
44		elnnuz 9667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
45	44	biimpri 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑢 ∈ ℕ)
46		fvconst2g 5788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) = 𝑋)
47		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
48	46, 47	eqeltrd 2281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ 𝐵)
49	48	elexd 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
50	26, 45, 49	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
51		1nn 9029	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
52	51	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀))) → 1 ∈ ℕ)
53	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
54	52, 53	nnaddcld 9066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀))) → (1 + 𝑀) ∈ ℕ)
55		eluznn 9703	. . . . . . 7 ⊢ (((1 + 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀))) → 𝑢 ∈ ℕ)
56	54, 55	sylancom 420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀))) → 𝑢 ∈ ℕ)
57	26, 56, 49	syl2an2r 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
58		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑢 ∈ V)
59		plusgslid 12863	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
60	59	slotex 12778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → (+g‘𝐺) ∈ V)
61	3, 60	eqeltrid 2291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → + ∈ V)
62	61	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → + ∈ V)
63		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑣 ∈ V)
64		ovexg 5968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑢 + 𝑣) ∈ V)
65	58, 62, 63, 64	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ V)
66	12, 14, 43, 50, 57, 65	seq3shft2 10607	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
67	2, 3, 30, 31	mulgnn 13380	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
68	10, 26, 67	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
69	22	seqeq1d 10579	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋})) = seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋})))
70	69, 19	fveq12d 5577	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
71	66, 68, 70	3eqtr4d 2247	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
72	35, 71	oveq12d 5952	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
73	28, 33, 72	3eqtr4d 2247	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  {csn 3632   × cxp 4671  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ℂcc 7905  1c1 7908   + caddc 7910  ℕcn 9018  ℤcz 9354  ℤ_≥cuz 9630  ...cfz 10112  seqcseq 10573  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828  Mgmcmgm 13104  Smgrpcsgrp 13151  ._gcmg 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-2 9077  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-seqfrec 10574  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-minusg 13254  df-mulg 13374

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  13406  mulgnnass  13411