Theorem disjsn2 3771

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3726	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
3	2	necon3ai 2469	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
4		disjsn 3770	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5	3, 4	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  {csn 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-nul 3521  df-sn 3714

This theorem is referenced by:  disjpr2  3772  difprsn1  3852  diftpsn3  3854  xpsndisj  5212  funprg  5429  funtp  5432  f1oprg  5683  xp01disjl  6701  enpr2d  7105  phplem1  7147  prfidisj  7228  djuinr  7397  pm54.43  7530  pr2nelem  7531  sumpr  12163  setsfun0  13371  setscom  13375  perfectlem2  16097