ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  disjsn2 GIF version

Theorem disjsn2 3586
Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
disjsn2 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Proof of Theorem disjsn2
StepHypRef Expression
1 elsni 3545 . . . 4 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
21eqcomd 2145 . . 3 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
32necon3ai 2357 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
4 disjsn 3585 . 2 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
53, 4sylibr 133 1 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  cin 3070  c0 3363  {csn 3527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-v 2688  df-dif 3073  df-in 3077  df-nul 3364  df-sn 3533
This theorem is referenced by:  disjpr2  3587  difprsn1  3659  diftpsn3  3661  xpsndisj  4965  funprg  5173  funtp  5176  f1oprg  5411  xp01disjl  6331  enpr2d  6711  phplem1  6746  prfidisj  6815  djuinr  6948  pm54.43  7053  pr2nelem  7054  sumpr  11196  setsfun0  12011  setscom  12015
  Copyright terms: Public domain W3C validator