Theorem disjsn2 3682

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3637	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2199	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
3	2	necon3ai 2413	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
4		disjsn 3681	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5	3, 4	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ∩ cin 3153  ∅c0 3447  {csn 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3156  df-in 3160  df-nul 3448  df-sn 3625

This theorem is referenced by:  disjpr2  3683  difprsn1  3758  diftpsn3  3760  xpsndisj  5093  funprg  5305  funtp  5308  f1oprg  5545  xp01disjl  6489  enpr2d  6873  phplem1  6910  prfidisj  6985  djuinr  7124  pm54.43  7252  pr2nelem  7253  sumpr  11559  setsfun0  12657  setscom  12661