ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  disjsn2 GIF version

Theorem disjsn2 3490
Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
disjsn2 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Proof of Theorem disjsn2
StepHypRef Expression
1 elsni 3449 . . . 4 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
21eqcomd 2090 . . 3 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
32necon3ai 2300 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
4 disjsn 3489 . 2 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
53, 4sylibr 132 1 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251  cin 2987  c0 3275  {csn 3431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-v 2617  df-dif 2990  df-in 2994  df-nul 3276  df-sn 3437
This theorem is referenced by:  disjpr2  3491  difprsn1  3561  diftpsn3  3563  xpsndisj  4825  funprg  5031  funtp  5034  f1oprg  5260  phplem1  6522  prfidisj  6591  djuinr  6702  djuin  6703  pm54.43  6765  pr2nelem  6766  sumpr  10713
  Copyright terms: Public domain W3C validator