Theorem disjpr2 3733

Description: The intersection of distinct unordered pairs is disjoint. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
disjpr2	⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3676	. . . 4 ⊢ {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷}))
3	2	ineq2d 3408	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})))
4		indi 3454	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}))
5		df-pr 3676	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
6	5	ineq1i 3404	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
7		indir 3456	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
8	6, 7	eqtri 2252	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
9		disjsn2 3732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
12		disjsn2 3732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
13	12	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
15	11, 14	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
16		un00 3541	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
17	15, 16	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
18	8, 17	eqtrid 2276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
19	5	ineq1i 3404	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
20		indir 3456	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
21	19, 20	eqtri 2252	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
22		disjsn2 3732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
25		disjsn2 3732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
28	24, 27	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
29		un00 3541	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
30	28, 29	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
31	21, 30	eqtrid 2276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
32	18, 31	uneq12d 3362	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = (∅ ∪ ∅))
33		un0 3528	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
35	4, 34	eqtrid 2276	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
36	3, 35	eqtrd 2264	1 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ≠ wne 2402   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199  ∅c0 3494  {csn 3669  {cpr 3670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-sn 3675  df-pr 3676

This theorem is referenced by: (None)