Theorem disjpr2 3698

Description: The intersection of distinct unordered pairs is disjoint. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
disjpr2	⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3641	. . . 4 ⊢ {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷}))
3	2	ineq2d 3375	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})))
4		indi 3421	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}))
5		df-pr 3641	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
6	5	ineq1i 3371	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
7		indir 3423	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
8	6, 7	eqtri 2227	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
9		disjsn2 3697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
12		disjsn2 3697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
13	12	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
15	11, 14	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
16		un00 3508	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
17	15, 16	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
18	8, 17	eqtrid 2251	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
19	5	ineq1i 3371	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
20		indir 3423	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
21	19, 20	eqtri 2227	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
22		disjsn2 3697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
25		disjsn2 3697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
28	24, 27	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
29		un00 3508	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
30	28, 29	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
31	21, 30	eqtrid 2251	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
32	18, 31	uneq12d 3329	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = (∅ ∪ ∅))
33		un0 3495	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2255	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
35	4, 34	eqtrid 2251	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
36	3, 35	eqtrd 2239	1 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ≠ wne 2377   ∪ cun 3165   ∩ cin 3166  ∅c0 3461  {csn 3634  {cpr 3635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-v 2775  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-sn 3640  df-pr 3641

This theorem is referenced by: (None)