ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  disjpr2 GIF version

Theorem disjpr2 3501
Description: The intersection of distinct unordered pairs is disjoint. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
disjpr2 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjpr2
StepHypRef Expression
1 df-pr 3448 . . . 4 {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
21a1i 9 . . 3 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷}))
32ineq2d 3199 . 2 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})))
4 indi 3244 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}))
5 df-pr 3448 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
65ineq1i 3195 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
7 indir 3246 . . . . . . 7 (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
86, 7eqtri 2108 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
9 disjsn2 3500 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
109adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
1110adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
12 disjsn2 3500 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1312adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1413adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1511, 14jca 300 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
16 un00 3326 . . . . . . 7 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
1715, 16sylib 120 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
188, 17syl5eq 2132 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
195ineq1i 3195 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
20 indir 3246 . . . . . . 7 (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
2119, 20eqtri 2108 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
22 disjsn2 3500 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
2322adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐷𝐵𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
2423adantl 271 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
25 disjsn2 3500 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
2625adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐷𝐵𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
2726adantl 271 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
2824, 27jca 300 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
29 un00 3326 . . . . . . 7 ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
3028, 29sylib 120 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
3121, 30syl5eq 2132 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
3218, 31uneq12d 3153 . . . 4 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = (∅ ∪ ∅))
33 un0 3314 . . . 4 (∅ ∪ ∅) = ∅
3432, 33syl6eq 2136 . . 3 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
354, 34syl5eq 2132 . 2 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
363, 35eqtrd 2120 1 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wne 2255  cun 2995  cin 2996  c0 3284  {csn 3441  {cpr 3442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-sn 3447  df-pr 3448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator