Theorem ineq2d 3422

Description: Equality deduction for intersection of two classes. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ineq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ineq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem ineq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ineq2 3416	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∩ cin 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217

This theorem is referenced by:  disjpr2  3753  rint0  3988  riin0  4063  disji2  4101  xpriindim  4893  riinint  5018  reseq2  5033  csbresg  5041  resindm  5080  isoselem  5993  zfz1isolem1  11212  fsumm1  12102  bitsinv1  12648  ennnfonelemhf1o  13164  nninfdclemcl  13199  nninfdclemp1  13201  nninfdc  13204  ressvalsets  13277  ressbasd  13280  ressinbasd  13287  ressressg  13288  restval  13458  mgpress  14075  subrngpropd  14361  subrgpropd  14398  crng2idl  14679  basis1  14912  baspartn  14915  eltg  14917  tgdom  14937  ntrval  14975  resttopon2  15043  restopnb  15046  qtopbasss  15386  p1evtxdeqfilem  16306