Theorem ineq2d 3408

Description: Equality deduction for intersection of two classes. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ineq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ineq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem ineq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ineq2 3402	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∩ cin 3199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206

This theorem is referenced by:  disjpr2  3733  rint0  3967  riin0  4042  disji2  4080  xpriindim  4868  riinint  4993  reseq2  5008  csbresg  5016  resindm  5055  isoselem  5960  zfz1isolem1  11103  fsumm1  11976  bitsinv1  12522  ennnfonelemhf1o  13033  nninfdclemcl  13068  nninfdclemp1  13070  nninfdc  13073  ressvalsets  13146  ressbasd  13149  ressinbasd  13156  ressressg  13157  restval  13327  mgpress  13943  subrngpropd  14229  subrgpropd  14266  crng2idl  14544  basis1  14770  baspartn  14773  eltg  14775  tgdom  14795  ntrval  14833  resttopon2  14901  restopnb  14904  qtopbasss  15244  p1evtxdeqfilem  16161