Theorem ineq2d 3408

Description: Equality deduction for intersection of two classes. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ineq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ineq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem ineq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ineq2 3402	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∩ cin 3199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206

This theorem is referenced by:  disjpr2  3733  rint0  3967  riin0  4042  disji2  4080  xpriindim  4868  riinint  4993  reseq2  5008  csbresg  5016  resindm  5055  isoselem  5961  zfz1isolem1  11105  fsumm1  11995  bitsinv1  12541  ennnfonelemhf1o  13052  nninfdclemcl  13087  nninfdclemp1  13089  nninfdc  13092  ressvalsets  13165  ressbasd  13168  ressinbasd  13175  ressressg  13176  restval  13346  mgpress  13963  subrngpropd  14249  subrgpropd  14286  crng2idl  14564  basis1  14790  baspartn  14793  eltg  14795  tgdom  14815  ntrval  14853  resttopon2  14921  restopnb  14924  qtopbasss  15264  p1evtxdeqfilem  16181