Theorem ineq2d 3365

Description: Equality deduction for intersection of two classes. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ineq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ineq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem ineq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ineq2 3359	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∩ cin 3156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163

This theorem is referenced by:  disjpr2  3687  rint0  3914  riin0  3989  disji2  4027  xpriindim  4805  riinint  4928  reseq2  4942  csbresg  4950  resindm  4989  isoselem  5870  zfz1isolem1  10951  fsumm1  11600  bitsinv1  12146  ennnfonelemhf1o  12657  nninfdclemcl  12692  nninfdclemp1  12694  nninfdc  12697  ressvalsets  12769  ressbasd  12772  ressinbasd  12779  ressressg  12780  restval  12949  mgpress  13565  subrngpropd  13850  subrgpropd  13887  crng2idl  14165  basis1  14391  baspartn  14394  eltg  14396  tgdom  14416  ntrval  14454  resttopon2  14522  restopnb  14525  qtopbasss  14865