Theorem ineq2d 3383

Description: Equality deduction for intersection of two classes. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ineq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ineq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem ineq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ineq2 3377	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∩ cin 3174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2779  df-in 3181

This theorem is referenced by:  disjpr2  3708  rint0  3939  riin0  4014  disji2  4052  xpriindim  4835  riinint  4959  reseq2  4974  csbresg  4982  resindm  5021  isoselem  5914  zfz1isolem1  11024  fsumm1  11888  bitsinv1  12434  ennnfonelemhf1o  12945  nninfdclemcl  12980  nninfdclemp1  12982  nninfdc  12985  ressvalsets  13057  ressbasd  13060  ressinbasd  13067  ressressg  13068  restval  13238  mgpress  13854  subrngpropd  14139  subrgpropd  14176  crng2idl  14454  basis1  14680  baspartn  14683  eltg  14685  tgdom  14705  ntrval  14743  resttopon2  14811  restopnb  14814  qtopbasss  15154