Theorem ineq2d 3373

Description: Equality deduction for intersection of two classes. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ineq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ineq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem ineq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ineq2 3367	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∩ cin 3164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-in 3171

This theorem is referenced by:  disjpr2  3696  rint0  3923  riin0  3998  disji2  4036  xpriindim  4814  riinint  4937  reseq2  4951  csbresg  4959  resindm  4998  isoselem  5879  zfz1isolem1  10966  fsumm1  11646  bitsinv1  12192  ennnfonelemhf1o  12703  nninfdclemcl  12738  nninfdclemp1  12740  nninfdc  12743  ressvalsets  12815  ressbasd  12818  ressinbasd  12825  ressressg  12826  restval  12995  mgpress  13611  subrngpropd  13896  subrgpropd  13933  crng2idl  14211  basis1  14437  baspartn  14440  eltg  14442  tgdom  14462  ntrval  14500  resttopon2  14568  restopnb  14571  qtopbasss  14911