Theorem ineq2d 3406

Description: Equality deduction for intersection of two classes. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ineq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ineq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem ineq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ineq2 3400	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∩ cin 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-in 3204

This theorem is referenced by:  disjpr2  3731  rint0  3965  riin0  4040  disji2  4078  xpriindim  4866  riinint  4991  reseq2  5006  csbresg  5014  resindm  5053  isoselem  5956  zfz1isolem1  11094  fsumm1  11967  bitsinv1  12513  ennnfonelemhf1o  13024  nninfdclemcl  13059  nninfdclemp1  13061  nninfdc  13064  ressvalsets  13137  ressbasd  13140  ressinbasd  13147  ressressg  13148  restval  13318  mgpress  13934  subrngpropd  14220  subrgpropd  14257  crng2idl  14535  basis1  14761  baspartn  14764  eltg  14766  tgdom  14786  ntrval  14824  resttopon2  14892  restopnb  14895  qtopbasss  15235