Theorem dmprop 5021

Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmsnop.1	⊢ 𝐵 ∈ V
dmprop.1	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dmprop	⊢ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐶}

Proof of Theorem dmprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnop.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		dmprop.1	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ V
3		dmpropg 5019	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐶})
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐶}

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689  {cpr 3533  ⟨cop 3535  dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-dm 4557

This theorem is referenced by:  dmtpop  5022  funtp  5184  fpr  5610