Theorem fpr 5844

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpr.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fpr.2	⊢ 𝐵 ∈ V
fpr.3	⊢ 𝐶 ∈ V
fpr.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fpr	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem fpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fpr.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		fpr.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
4		fpr.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5389	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
6	3, 4	dmprop 5218	. . . . 5 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵}
7	5, 6	jctir 313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵}))
8		df-fn 5336	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵}))
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵})
10		df-pr 3680	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
11	10	rneqi 4966	. . . . 5 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ran ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
12		rnun 5152	. . . . 5 ⊢ ran ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩})
13	1	rnsnop 5224	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐶}
14	2	rnsnop 5224	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐷}
15	13, 14	uneq12i 3361	. . . . . 6 ⊢ (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐶} ∪ {𝐷})
16		df-pr 3680	. . . . . 6 ⊢ {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
17	15, 16	eqtr4i 2255	. . . . 5 ⊢ (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = {𝐶, 𝐷}
18	11, 12, 17	3eqtri 2256	. . . 4 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐶, 𝐷}
19	18	eqimssi 3284	. . 3 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷}
20	9, 19	jctir 313	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ∧ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷}))
21		df-f 5337	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ∧ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷}))
22	20, 21	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  Vcvv 2803   ∪ cun 3199   ⊆ wss 3201  {csn 3673  {cpr 3674  ⟨cop 3676  dom cdm 4731  ran crn 4732  Fun wfun 5327   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337

This theorem is referenced by: (None)