Theorem fpr 5831

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpr.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fpr.2	⊢ 𝐵 ∈ V
fpr.3	⊢ 𝐶 ∈ V
fpr.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fpr	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem fpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fpr.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		fpr.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
4		fpr.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
6	3, 4	dmprop 5209	. . . . 5 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵}
7	5, 6	jctir 313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵}))
8		df-fn 5327	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵}))
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵})
10		df-pr 3674	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
11	10	rneqi 4958	. . . . 5 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ran ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
12		rnun 5143	. . . . 5 ⊢ ran ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩})
13	1	rnsnop 5215	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐶}
14	2	rnsnop 5215	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐷}
15	13, 14	uneq12i 3357	. . . . . 6 ⊢ (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐶} ∪ {𝐷})
16		df-pr 3674	. . . . . 6 ⊢ {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
17	15, 16	eqtr4i 2253	. . . . 5 ⊢ (ran {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ran {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = {𝐶, 𝐷}
18	11, 12, 17	3eqtri 2254	. . . 4 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐶, 𝐷}
19	18	eqimssi 3281	. . 3 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷}
20	9, 19	jctir 313	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ∧ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷}))
21		df-f 5328	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷} ↔ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ∧ ran {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐶, 𝐷}))
22	20, 21	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2800   ∪ cun 3196   ⊆ wss 3198  {csn 3667  {cpr 3668  ⟨cop 3670  dom cdm 4723  ran crn 4724  Fun wfun 5318   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328

This theorem is referenced by: (None)