Theorem funtp 5311

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funtp.1	⊢ 𝐴 ∈ V
funtp.2	⊢ 𝐵 ∈ V
funtp.3	⊢ 𝐶 ∈ V
funtp.4	⊢ 𝐷 ∈ V
funtp.5	⊢ 𝐸 ∈ V
funtp.6	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funtp	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Proof of Theorem funtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		funtp.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		funtp.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		funtp.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5310	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩})
6		funtp.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
7		funtp.6	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
8	6, 7	funsn 5306	. . . . 5 ⊢ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}
9	5, 8	jctir 313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
10	3, 4	dmprop 5144	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐴, 𝐵}
11		df-pr 3629	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
12	10, 11	eqtri 2217	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
13	7	dmsnop 5143	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐶}
14	12, 13	ineq12i 3362	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
15		disjsn2 3685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
16		disjsn2 3685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17	15, 16	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
18		undisj1 3508	. . . . . 6 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
19	17, 18	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
20	14, 19	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅)
21		funun 5302	. . . 4 ⊢ (((Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
22	9, 20, 21	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
23	22	3impb 1201	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
24		df-tp 3630	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
25	24	funeqi 5279	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
26	23, 25	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  Vcvv 2763   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156  ∅c0 3450  {csn 3622  {cpr 3623  {ctp 3624  ⟨cop 3625  dom cdm 4663  Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  fntp  5315