Theorem mstps 15311

Description: A metric space is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mstps	⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝑀 ∈ TopSp)

Proof of Theorem mstps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msxms 15310	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝑀 ∈ ∞MetSp)
2		xmstps 15309	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ∞MetSp → 𝑀 ∈ TopSp)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝑀 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  TopSpctps 14882  ∞MetSpcxms 15188  MetSpcms 15189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-res 4760  df-iota 5311  df-fv 5359  df-xms 15191  df-ms 15192

This theorem is referenced by:  cnfldtps  15390