Theorem 0elon 4535

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4534	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4258	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4517	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  Ord word 4505  Oncon0 4506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-nul 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-uni 3934  df-tr 4228  df-iord 4509  df-on 4511

This theorem is referenced by:  inton  4536  onn0  4543  onm  4544  limon  4658  ordtriexmid  4666  ontriexmidim  4667  ordtri2orexmid  4668  onsucsssucexmid  4672  onsucelsucexmid  4675  ordsoexmid  4707  ordpwsucexmid  4715  ordtri2or2exmid  4716  ontri2orexmidim  4717  tfr0dm  6587  1on  6688  ordgt0ge1  6702  omv  6722  oa0  6724  om0  6725  oei0  6726  omcl  6728  omv2  6732  oaword1  6738  nna0r  6745  nnm0r  6746  card0  7527