Theorem 0elon 4309

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4308	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4050	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4291	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 145	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  ∅c0 3358  Ord word 4279  Oncon0 4280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-nul 4049

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-uni 3732  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285

This theorem is referenced by:  inton  4310  onn0  4317  onm  4318  limon  4424  ordtriexmid  4432  ordtri2orexmid  4433  onsucsssucexmid  4437  onsucelsucexmid  4440  ordsoexmid  4472  ordpwsucexmid  4480  ordtri2or2exmid  4481  tfr0dm  6212  1on  6313  ordgt0ge1  6325  omv  6344  oa0  6346  om0  6347  oei0  6348  omcl  6350  omv2  6354  oaword1  6360  nna0r  6367  nnm0r  6368  card0  7037