Theorem 0elon 4495

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4494	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4221	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4477	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ∅c0 3496  Ord word 4465  Oncon0 4466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-nul 4220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-uni 3899  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471

This theorem is referenced by:  inton  4496  onn0  4503  onm  4504  limon  4617  ordtriexmid  4625  ontriexmidim  4626  ordtri2orexmid  4627  onsucsssucexmid  4631  onsucelsucexmid  4634  ordsoexmid  4666  ordpwsucexmid  4674  ordtri2or2exmid  4675  ontri2orexmidim  4676  tfr0dm  6531  1on  6632  ordgt0ge1  6646  omv  6666  oa0  6668  om0  6669  oei0  6670  omcl  6672  omv2  6676  oaword1  6682  nna0r  6689  nnm0r  6690  card0  7435