Theorem 0elon 4484

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4483	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4211	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4466	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  Ord word 4454  Oncon0 4455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-nul 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-uni 3889  df-tr 4183  df-iord 4458  df-on 4460

This theorem is referenced by:  inton  4485  onn0  4492  onm  4493  limon  4606  ordtriexmid  4614  ontriexmidim  4615  ordtri2orexmid  4616  onsucsssucexmid  4620  onsucelsucexmid  4623  ordsoexmid  4655  ordpwsucexmid  4663  ordtri2or2exmid  4664  ontri2orexmidim  4665  tfr0dm  6479  1on  6580  ordgt0ge1  6594  omv  6614  oa0  6616  om0  6617  oei0  6618  omcl  6620  omv2  6624  oaword1  6630  nna0r  6637  nnm0r  6638  card0  7376