Theorem 0elon 4423

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4422	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4156	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4405	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  ∅c0 3446  Ord word 4393  Oncon0 4394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-nul 4155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399

This theorem is referenced by:  inton  4424  onn0  4431  onm  4432  limon  4545  ordtriexmid  4553  ontriexmidim  4554  ordtri2orexmid  4555  onsucsssucexmid  4559  onsucelsucexmid  4562  ordsoexmid  4594  ordpwsucexmid  4602  ordtri2or2exmid  4603  ontri2orexmidim  4604  tfr0dm  6375  1on  6476  ordgt0ge1  6488  omv  6508  oa0  6510  om0  6511  oei0  6512  omcl  6514  omv2  6518  oaword1  6524  nna0r  6531  nnm0r  6532  card0  7248