Theorem 0elon 4407

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4406	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4145	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4389	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  ∅c0 3437  Ord word 4377  Oncon0 4378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-nul 4144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-uni 3825  df-tr 4117  df-iord 4381  df-on 4383

This theorem is referenced by:  inton  4408  onn0  4415  onm  4416  limon  4527  ordtriexmid  4535  ontriexmidim  4536  ordtri2orexmid  4537  onsucsssucexmid  4541  onsucelsucexmid  4544  ordsoexmid  4576  ordpwsucexmid  4584  ordtri2or2exmid  4585  ontri2orexmidim  4586  tfr0dm  6341  1on  6442  ordgt0ge1  6454  omv  6474  oa0  6476  om0  6477  oei0  6478  omcl  6480  omv2  6484  oaword1  6490  nna0r  6497  nnm0r  6498  card0  7205