Theorem 0elon 4370

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4369	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4109	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4352	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 145	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  ∅c0 3409  Ord word 4340  Oncon0 4341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-nul 4108

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346

This theorem is referenced by:  inton  4371  onn0  4378  onm  4379  limon  4490  ordtriexmid  4498  ontriexmidim  4499  ordtri2orexmid  4500  onsucsssucexmid  4504  onsucelsucexmid  4507  ordsoexmid  4539  ordpwsucexmid  4547  ordtri2or2exmid  4548  ontri2orexmidim  4549  tfr0dm  6290  1on  6391  ordgt0ge1  6403  omv  6423  oa0  6425  om0  6426  oei0  6427  omcl  6429  omv2  6433  oaword1  6439  nna0r  6446  nnm0r  6447  card0  7144