Theorem 0elon 4489

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4488	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4216	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4471	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494  Ord word 4459  Oncon0 4460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-nul 4215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-uni 3894  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465

This theorem is referenced by:  inton  4490  onn0  4497  onm  4498  limon  4611  ordtriexmid  4619  ontriexmidim  4620  ordtri2orexmid  4621  onsucsssucexmid  4625  onsucelsucexmid  4628  ordsoexmid  4660  ordpwsucexmid  4668  ordtri2or2exmid  4669  ontri2orexmidim  4670  tfr0dm  6488  1on  6589  ordgt0ge1  6603  omv  6623  oa0  6625  om0  6626  oei0  6627  omcl  6629  omv2  6633  oaword1  6639  nna0r  6646  nnm0r  6647  card0  7392