Theorem 0elon 4228

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4227	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 3972	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4210	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 145	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1439  ∅c0 3287  Ord word 4198  Oncon0 4199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-nul 3971

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-uni 3660  df-tr 3943  df-iord 4202  df-on 4204

This theorem is referenced by:  inton  4229  onn0  4236  onm  4237  limon  4343  ordtriexmid  4351  ordtri2orexmid  4352  onsucsssucexmid  4356  onsucelsucexmid  4359  ordsoexmid  4391  ordpwsucexmid  4399  ordtri2or2exmid  4400  tfr0dm  6101  1on  6202  ordgt0ge1  6213  omv  6230  oa0  6232  om0  6233  oei0  6234  omcl  6236  omv2  6240  oaword1  6246  nna0r  6253  nnm0r  6254  card0  6870