Theorem 0elon 4512

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4511	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4236	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4494	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  ∅c0 3507  Ord word 4482  Oncon0 4483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-nul 4235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-uni 3914  df-tr 4208  df-iord 4486  df-on 4488

This theorem is referenced by:  inton  4513  onn0  4520  onm  4521  limon  4634  ordtriexmid  4642  ontriexmidim  4643  ordtri2orexmid  4644  onsucsssucexmid  4648  onsucelsucexmid  4651  ordsoexmid  4683  ordpwsucexmid  4691  ordtri2or2exmid  4692  ontri2orexmidim  4693  tfr0dm  6552  1on  6653  ordgt0ge1  6667  omv  6687  oa0  6689  om0  6690  oei0  6691  omcl  6693  omv2  6697  oaword1  6703  nna0r  6710  nnm0r  6711  card0  7483