Theorem 0elon 4518

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4517	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4500	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  ∅c0 3512  Ord word 4488  Oncon0 4489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-nul 4241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-uni 3920  df-tr 4214  df-iord 4492  df-on 4494

This theorem is referenced by:  inton  4519  onn0  4526  onm  4527  limon  4640  ordtriexmid  4648  ontriexmidim  4649  ordtri2orexmid  4650  onsucsssucexmid  4654  onsucelsucexmid  4657  ordsoexmid  4689  ordpwsucexmid  4697  ordtri2or2exmid  4698  ontri2orexmidim  4699  tfr0dm  6566  1on  6667  ordgt0ge1  6681  omv  6701  oa0  6703  om0  6704  oei0  6705  omcl  6707  omv2  6711  oaword1  6717  nna0r  6724  nnm0r  6725  card0  7497