Theorem 0elon 4483

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4482	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4211	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4465	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  Ord word 4453  Oncon0 4454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-nul 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-uni 3889  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459

This theorem is referenced by:  inton  4484  onn0  4491  onm  4492  limon  4605  ordtriexmid  4613  ontriexmidim  4614  ordtri2orexmid  4615  onsucsssucexmid  4619  onsucelsucexmid  4622  ordsoexmid  4654  ordpwsucexmid  4662  ordtri2or2exmid  4663  ontri2orexmidim  4664  tfr0dm  6474  1on  6575  ordgt0ge1  6589  omv  6609  oa0  6611  om0  6612  oei0  6613  omcl  6615  omv2  6619  oaword1  6625  nna0r  6632  nnm0r  6633  card0  7368