Theorem 0elon 4377

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4376	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4116	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4359	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 145	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414  Ord word 4347  Oncon0 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-nul 4115

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353

This theorem is referenced by:  inton  4378  onn0  4385  onm  4386  limon  4497  ordtriexmid  4505  ontriexmidim  4506  ordtri2orexmid  4507  onsucsssucexmid  4511  onsucelsucexmid  4514  ordsoexmid  4546  ordpwsucexmid  4554  ordtri2or2exmid  4555  ontri2orexmidim  4556  tfr0dm  6301  1on  6402  ordgt0ge1  6414  omv  6434  oa0  6436  om0  6437  oei0  6438  omcl  6440  omv2  6444  oaword1  6450  nna0r  6457  nnm0r  6458  card0  7165