Theorem 0elon 4480

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4479	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4210	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4462	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  Ord word 4450  Oncon0 4451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-nul 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-uni 3888  df-tr 4182  df-iord 4454  df-on 4456

This theorem is referenced by:  inton  4481  onn0  4488  onm  4489  limon  4602  ordtriexmid  4610  ontriexmidim  4611  ordtri2orexmid  4612  onsucsssucexmid  4616  onsucelsucexmid  4619  ordsoexmid  4651  ordpwsucexmid  4659  ordtri2or2exmid  4660  ontri2orexmidim  4661  tfr0dm  6458  1on  6559  ordgt0ge1  6571  omv  6591  oa0  6593  om0  6594  oei0  6595  omcl  6597  omv2  6601  oaword1  6607  nna0r  6614  nnm0r  6615  card0  7348