Theorem suceq 4362

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3571	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3262	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4331	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4331	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2215	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∪ cun 3100  {csn 3560  suc csuc 4325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-sn 3566  df-suc 4331

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4379  2ordpr  4483  onsucsssucexmid  4486  onsucelsucexmid  4489  ordsucunielexmid  4490  suc11g  4516  onsucuni2  4523  0elsucexmid  4524  ordpwsucexmid  4529  peano2  4554  findes  4562  nn0suc  4563  0elnn  4578  omsinds  4581  tfr1onlemsucaccv  6288  tfrcllemsucaccv  6301  tfrcl  6311  frecabcl  6346  frecsuc  6354  sucinc  6392  sucinc2  6393  oacl  6407  oav2  6410  oasuc  6411  oa1suc  6414  nna0r  6425  nnacom  6431  nnaass  6432  nnmsucr  6435  nnsucelsuc  6438  nnsucsssuc  6439  nnaword  6458  nnaordex  6474  phplem3g  6801  nneneq  6802  php5  6803  php5dom  6808  omp1eomlem  7038  omp1eom  7039  nnnninfeq  7071  nnnninfeq2  7072  indpi  7262  ennnfoneleminc  12151  ennnfonelemex  12154  bj-indsuc  13514  bj-bdfindes  13535  bj-nn0suc0  13536  bj-peano4  13541  bj-inf2vnlem1  13556  bj-nn0sucALT  13564  bj-findes  13567  nnsf  13588  nninfsellemdc  13593  nninfself  13596  nninfsellemeqinf  13599  nninfomni  13602