Theorem suceq 4493

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3677	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3359	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4462	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4462	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∪ cun 3195  {csn 3666  suc csuc 4456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-suc 4462

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4510  2ordpr  4616  onsucsssucexmid  4619  onsucelsucexmid  4622  ordsucunielexmid  4623  suc11g  4649  onsucuni2  4656  0elsucexmid  4657  ordpwsucexmid  4662  peano2  4687  findes  4695  nn0suc  4696  0elnn  4711  omsinds  4714  tfr1onlemsucaccv  6493  tfrcllemsucaccv  6506  tfrcl  6516  frecabcl  6551  frecsuc  6559  sucinc  6599  sucinc2  6600  oacl  6614  oav2  6617  oasuc  6618  oa1suc  6621  nna0r  6632  nnacom  6638  nnaass  6639  nnmsucr  6642  nnsucelsuc  6645  nnsucsssuc  6646  nnaword  6665  nnaordex  6682  phplem3g  7025  nneneq  7026  php5  7027  php5dom  7032  omp1eomlem  7272  omp1eom  7273  nninfninc  7301  nnnninfeq  7306  nnnninfeq2  7307  nninfwlpoimlemg  7353  nninfwlpoimlemginf  7354  nninfwlpoim  7357  nninfinfwlpo  7358  indpi  7540  ennnfoneleminc  12997  ennnfonelemex  13000  bj-indsuc  16346  bj-bdfindes  16367  bj-nn0suc0  16368  bj-peano4  16373  bj-inf2vnlem1  16388  bj-nn0sucALT  16396  bj-findes  16399  nnsf  16431  nninfsellemdc  16436  nninfself  16439  nninfsellemeqinf  16442  nninfomni  16445