Theorem suceq 4332

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3543	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3236	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4301	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4301	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2198	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∪ cun 3074  {csn 3532  suc csuc 4295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-suc 4301

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4349  2ordpr  4447  onsucsssucexmid  4450  onsucelsucexmid  4453  ordsucunielexmid  4454  suc11g  4480  onsucuni2  4487  0elsucexmid  4488  ordpwsucexmid  4493  peano2  4517  findes  4525  nn0suc  4526  0elnn  4540  omsinds  4543  tfr1onlemsucaccv  6246  tfrcllemsucaccv  6259  tfrcl  6269  frecabcl  6304  frecsuc  6312  sucinc  6349  sucinc2  6350  oacl  6364  oav2  6367  oasuc  6368  oa1suc  6371  nna0r  6382  nnacom  6388  nnaass  6389  nnmsucr  6392  nnsucelsuc  6395  nnsucsssuc  6396  nnaword  6415  nnaordex  6431  phplem3g  6758  nneneq  6759  php5  6760  php5dom  6765  omp1eomlem  6987  omp1eom  6988  indpi  7174  ennnfoneleminc  11960  ennnfonelemex  11963  bj-indsuc  13297  bj-bdfindes  13318  bj-nn0suc0  13319  bj-peano4  13324  bj-inf2vnlem1  13339  bj-nn0sucALT  13347  bj-findes  13350  nnsf  13374  nninfalllemn  13377  nninfsellemdc  13381  nninfself  13384  nninfsellemeqinf  13387  nninfomni  13390