Theorem suceq 4433

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3629	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3314	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4402	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4402	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2251	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∪ cun 3151  {csn 3618  suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-suc 4402

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4450  2ordpr  4556  onsucsssucexmid  4559  onsucelsucexmid  4562  ordsucunielexmid  4563  suc11g  4589  onsucuni2  4596  0elsucexmid  4597  ordpwsucexmid  4602  peano2  4627  findes  4635  nn0suc  4636  0elnn  4651  omsinds  4654  tfr1onlemsucaccv  6394  tfrcllemsucaccv  6407  tfrcl  6417  frecabcl  6452  frecsuc  6460  sucinc  6498  sucinc2  6499  oacl  6513  oav2  6516  oasuc  6517  oa1suc  6520  nna0r  6531  nnacom  6537  nnaass  6538  nnmsucr  6541  nnsucelsuc  6544  nnsucsssuc  6545  nnaword  6564  nnaordex  6581  phplem3g  6912  nneneq  6913  php5  6914  php5dom  6919  omp1eomlem  7153  omp1eom  7154  nninfninc  7182  nnnninfeq  7187  nnnninfeq2  7188  nninfwlpoimlemg  7234  nninfwlpoimlemginf  7235  nninfwlpoim  7237  indpi  7402  ennnfoneleminc  12568  ennnfonelemex  12571  bj-indsuc  15420  bj-bdfindes  15441  bj-nn0suc0  15442  bj-peano4  15447  bj-inf2vnlem1  15462  bj-nn0sucALT  15470  bj-findes  15473  nnsf  15495  nninfsellemdc  15500  nninfself  15503  nninfsellemeqinf  15506  nninfomni  15509