Theorem suceq 4528

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3705	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3378	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4497	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4497	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2292	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∪ cun 3212  {csn 3694  suc csuc 4491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-suc 4497

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4545  2ordpr  4651  onsucsssucexmid  4654  onsucelsucexmid  4657  ordsucunielexmid  4658  suc11g  4684  onsucuni2  4691  0elsucexmid  4692  ordpwsucexmid  4697  peano2  4722  findes  4730  nn0suc  4731  0elnn  4746  omsinds  4749  tfr1onlemsucaccv  6585  tfrcllemsucaccv  6598  tfrcl  6608  frecabcl  6643  frecsuc  6651  sucinc  6691  sucinc2  6692  oacl  6706  oav2  6709  oasuc  6710  oa1suc  6713  nna0r  6724  nnacom  6730  nnaass  6731  nnmsucr  6734  nnsucelsuc  6737  nnsucsssuc  6738  nnaword  6757  nnaordex  6774  phplem3g  7123  nneneq  7124  php5  7125  php5dom  7130  omp1eomlem  7398  omp1eom  7399  nninfninc  7427  nnnninfeq  7432  nnnninfeq2  7433  nninfwlpoimlemg  7479  nninfwlpoimlemginf  7480  nninfwlpoim  7483  nninfinfwlpo  7484  indpi  7673  ennnfoneleminc  13246  ennnfonelemex  13249  bj-indsuc  16824  bj-bdfindes  16845  bj-nn0suc0  16846  bj-peano4  16851  bj-inf2vnlem1  16866  bj-nn0sucALT  16874  bj-findes  16877  nnsf  16909  nninfsellemdc  16914  nninfself  16917  nninfsellemeqinf  16920  nninfomni  16923