Theorem suceq 4505

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3684	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3364	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4474	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4474	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2289	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∪ cun 3199  {csn 3673  suc csuc 4468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-suc 4474

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4522  2ordpr  4628  onsucsssucexmid  4631  onsucelsucexmid  4634  ordsucunielexmid  4635  suc11g  4661  onsucuni2  4668  0elsucexmid  4669  ordpwsucexmid  4674  peano2  4699  findes  4707  nn0suc  4708  0elnn  4723  omsinds  4726  tfr1onlemsucaccv  6550  tfrcllemsucaccv  6563  tfrcl  6573  frecabcl  6608  frecsuc  6616  sucinc  6656  sucinc2  6657  oacl  6671  oav2  6674  oasuc  6675  oa1suc  6678  nna0r  6689  nnacom  6695  nnaass  6696  nnmsucr  6699  nnsucelsuc  6702  nnsucsssuc  6703  nnaword  6722  nnaordex  6739  phplem3g  7085  nneneq  7086  php5  7087  php5dom  7092  omp1eomlem  7336  omp1eom  7337  nninfninc  7365  nnnninfeq  7370  nnnninfeq2  7371  nninfwlpoimlemg  7417  nninfwlpoimlemginf  7418  nninfwlpoim  7421  nninfinfwlpo  7422  indpi  7605  ennnfoneleminc  13095  ennnfonelemex  13098  bj-indsuc  16627  bj-bdfindes  16648  bj-nn0suc0  16649  bj-peano4  16654  bj-inf2vnlem1  16669  bj-nn0sucALT  16677  bj-findes  16680  nnsf  16714  nninfsellemdc  16719  nninfself  16722  nninfsellemeqinf  16725  nninfomni  16728