Theorem suceq 4549

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3720	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3384	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4518	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4518	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∪ cun 3218  {csn 3709  suc csuc 4512

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-suc 4518

This theorem is used by:  eqelsuc  4566  2ordpr  4673  onsucsssucexmid  4676  onsucelsucexmid  4679  ordsucunielexmid  4680  suc11g  4706  onsucuni2  4713  0elsucexmid  4714  ordpwsucexmid  4719  peano2  4744  findes  4752  nn0suc  4753  0elnn  4768  omsinds  4771  tfr1onlemsucaccv  6617  tfrcllemsucaccv  6630  tfrcl  6640  frecabcl  6675  frecsuc  6683  sucinc  6723  sucinc2  6724  oacl  6738  oav2  6741  oasuc  6742  oa1suc  6745  nna0r  6756  nnacom  6762  nnaass  6763  nnmsucr  6766  nnsucelsuc  6769  nnsucsssuc  6770  nnaword  6789  nnaordex  6806  phplem3g  7163  nneneq  7164  php5  7165  php5dom  7170  omp1eomlem  7440  omp1eom  7441  nninfninc  7469  nnnninfeq  7474  nnnninfeq2  7475  nninfwlpoimlemg  7521  nninfwlpoimlemginf  7522  nninfwlpoim  7525  nninfinfwlpo  7526  indpi  7715  ennnfoneleminc  13359  ennnfonelemex  13362  bj-indsuc  17176  bj-bdfindes  17197  bj-nn0suc0  17198  bj-peano4  17203  bj-inf2vnlem1  17218  bj-nn0sucALT  17226  bj-findes  17229  nnsf  17271  nninfsellemdc  17276  nninfself  17279  nninfsellemeqinf  17282  nninfomni  17285