Theorem suceq 4319

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3533	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3226	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4288	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4288	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2195	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∪ cun 3064  {csn 3522  suc csuc 4282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-suc 4288

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4336  2ordpr  4434  onsucsssucexmid  4437  onsucelsucexmid  4440  ordsucunielexmid  4441  suc11g  4467  onsucuni2  4474  0elsucexmid  4475  ordpwsucexmid  4480  peano2  4504  findes  4512  nn0suc  4513  0elnn  4527  omsinds  4530  tfr1onlemsucaccv  6231  tfrcllemsucaccv  6244  tfrcl  6254  frecabcl  6289  frecsuc  6297  sucinc  6334  sucinc2  6335  oacl  6349  oav2  6352  oasuc  6353  oa1suc  6356  nna0r  6367  nnacom  6373  nnaass  6374  nnmsucr  6377  nnsucelsuc  6380  nnsucsssuc  6381  nnaword  6400  nnaordex  6416  phplem3g  6743  nneneq  6744  php5  6745  php5dom  6750  omp1eomlem  6972  omp1eom  6973  indpi  7143  ennnfoneleminc  11913  ennnfonelemex  11916  bj-indsuc  13115  bj-bdfindes  13136  bj-nn0suc0  13137  bj-peano4  13142  bj-inf2vnlem1  13157  bj-nn0sucALT  13165  bj-findes  13168  nnsf  13188  nninfalllemn  13191  nninfsellemdc  13195  nninfself  13198  nninfsellemeqinf  13201  nninfomni  13204