Theorem suceq 4402

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3603	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3290	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4371	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4371	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2235	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∪ cun 3127  {csn 3592  suc csuc 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-suc 4371

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4419  2ordpr  4523  onsucsssucexmid  4526  onsucelsucexmid  4529  ordsucunielexmid  4530  suc11g  4556  onsucuni2  4563  0elsucexmid  4564  ordpwsucexmid  4569  peano2  4594  findes  4602  nn0suc  4603  0elnn  4618  omsinds  4621  tfr1onlemsucaccv  6341  tfrcllemsucaccv  6354  tfrcl  6364  frecabcl  6399  frecsuc  6407  sucinc  6445  sucinc2  6446  oacl  6460  oav2  6463  oasuc  6464  oa1suc  6467  nna0r  6478  nnacom  6484  nnaass  6485  nnmsucr  6488  nnsucelsuc  6491  nnsucsssuc  6492  nnaword  6511  nnaordex  6528  phplem3g  6855  nneneq  6856  php5  6857  php5dom  6862  omp1eomlem  7092  omp1eom  7093  nnnninfeq  7125  nnnninfeq2  7126  nninfwlpoimlemg  7172  nninfwlpoimlemginf  7173  nninfwlpoim  7175  indpi  7340  ennnfoneleminc  12411  ennnfonelemex  12414  bj-indsuc  14650  bj-bdfindes  14671  bj-nn0suc0  14672  bj-peano4  14677  bj-inf2vnlem1  14692  bj-nn0sucALT  14700  bj-findes  14703  nnsf  14724  nninfsellemdc  14729  nninfself  14732  nninfsellemeqinf  14735  nninfomni  14738