Theorem suceq 4467

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3654	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3336	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4436	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4436	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2265	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∪ cun 3172  {csn 3643  suc csuc 4430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-sn 3649  df-suc 4436

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4484  2ordpr  4590  onsucsssucexmid  4593  onsucelsucexmid  4596  ordsucunielexmid  4597  suc11g  4623  onsucuni2  4630  0elsucexmid  4631  ordpwsucexmid  4636  peano2  4661  findes  4669  nn0suc  4670  0elnn  4685  omsinds  4688  tfr1onlemsucaccv  6450  tfrcllemsucaccv  6463  tfrcl  6473  frecabcl  6508  frecsuc  6516  sucinc  6554  sucinc2  6555  oacl  6569  oav2  6572  oasuc  6573  oa1suc  6576  nna0r  6587  nnacom  6593  nnaass  6594  nnmsucr  6597  nnsucelsuc  6600  nnsucsssuc  6601  nnaword  6620  nnaordex  6637  phplem3g  6978  nneneq  6979  php5  6980  php5dom  6985  omp1eomlem  7222  omp1eom  7223  nninfninc  7251  nnnninfeq  7256  nnnninfeq2  7257  nninfwlpoimlemg  7303  nninfwlpoimlemginf  7304  nninfwlpoim  7307  nninfinfwlpo  7308  indpi  7490  ennnfoneleminc  12897  ennnfonelemex  12900  bj-indsuc  16063  bj-bdfindes  16084  bj-nn0suc0  16085  bj-peano4  16090  bj-inf2vnlem1  16105  bj-nn0sucALT  16113  bj-findes  16116  nnsf  16144  nninfsellemdc  16149  nninfself  16152  nninfsellemeqinf  16155  nninfomni  16158