Theorem elrab 2920

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 21-May-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrab.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
elrab	⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
4		elrab.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	elrabf 2918	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765

This theorem is referenced by:  elrab3  2921  elrabd  2922  elrab2  2923  ralrab  2925  rexrab  2927  rabsnt  3697  unimax  3873  ssintub  3892  intminss  3899  exmidexmid  4229  exmidsssnc  4236  rabxfrd  4504  ordtri2or2exmidlem  4562  onsucelsucexmidlem1  4564  sefvex  5579  ssimaex  5622  acexmidlem2  5919  elpmg  6723  ssfilem  6936  diffitest  6948  inffiexmid  6967  supubti  7065  suplubti  7066  ctssexmid  7216  exmidonfinlem  7260  cc4f  7336  cc4n  7338  caucvgprlemladdfu  7744  caucvgprlemladdrl  7745  suplocexprlemmu  7785  suplocexprlemru  7786  suplocexprlemdisj  7787  suplocexprlemub  7790  nnindnn  7960  negf1o  8408  apsscn  8674  sup3exmid  8984  nnind  9006  peano2uz2  9433  peano5uzti  9434  dfuzi  9436  uzind  9437  uzind3  9439  eluz1  9605  uzind4  9662  supinfneg  9669  infsupneg  9670  eqreznegel  9688  elixx1  9972  elioo2  9996  elfz1  10088  zsupcl  10321  infssuzex  10323  infssuzcldc  10325  expcl2lemap  10643  expclzaplem  10655  expclzap  10656  expap0i  10663  expge0  10667  expge1  10668  hashennnuni  10871  wrdmap  10966  shftf  10995  reccn2ap  11478  dvdsdivcl  12015  divalgmod  12092  bitsval  12108  bitsfzolem  12118  bezoutlemsup  12176  dfgcd2  12181  uzwodc  12204  nnwosdc  12206  nninfctlemfo  12207  lcmgcdlem  12245  1nprm  12282  1idssfct  12283  isprm2  12285  phicl2  12382  hashdvds  12389  dvdsfi  12407  phisum  12409  odzval  12410  odzcllem  12411  odzdvds  12414  oddennn  12609  evenennn  12610  znnen  12615  ennnfonelemg  12620  ennnfonelemom  12625  ismhm  13093  issubm  13104  issubmd  13106  grplinv  13182  issubg  13303  isnsg  13332  isrim0  13717  issubrng  13755  issubrg  13777  islssm  13913  islssmg  13914  cnfldui  14145  istopon  14249  epttop  14326  iscld  14339  isnei  14380  neipsm  14390  iscn  14433  iscnp  14435  txdis1cn  14514  ishmeo  14540  ispsmet  14559  ismet  14580  isxmet  14581  elblps  14626  elbl  14627  xmetxpbl  14744  reopnap  14782  divcnap  14801  elcncf  14809  cdivcncfap  14840  cnopnap  14847  divcncfap  14850  maxcncf  14851  mincncf  14852  ellimc3apf  14896  limccoap  14914  dvlemap  14916  dvidlemap  14927  dvidrelem  14928  dvidsslem  14929  dvcnp2cntop  14935  dvaddxxbr  14937  dvmulxxbr  14938  dvcoapbr  14943  dvcjbr  14944  dvrecap  14949  dveflem  14962  dvdsppwf1o  15225  lgsfle1  15250  lgsle1  15256  lgsdirprm  15275  lgsne0  15279  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  subctctexmid  15645