ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrab GIF version

Theorem elrab 2811
Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 21-May-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
elrab.1 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
elrab (𝐴 ∈ {𝑥𝐵𝜑} ↔ (𝐴𝐵𝜓))
Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrab
StepHypRef Expression
1 nfcv 2256 . 2 𝑥𝐴
2 nfcv 2256 . 2 𝑥𝐵
3 nfv 1491 . 2 𝑥𝜓
4 elrab.1 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
51, 2, 3, 4elrabf 2809 1 (𝐴 ∈ {𝑥𝐵𝜑} ↔ (𝐴𝐵𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  {crab 2395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-rab 2400  df-v 2660
This theorem is referenced by:  elrab3  2812  elrabd  2813  elrab2  2814  ralrab  2816  rexrab  2818  rabsnt  3566  unimax  3738  ssintub  3757  intminss  3764  exmidexmid  4088  exmidsssnc  4094  rabxfrd  4358  ordtri2or2exmidlem  4409  onsucelsucexmidlem1  4411  sefvex  5408  ssimaex  5448  acexmidlem2  5737  elpmg  6524  ssfilem  6735  diffitest  6747  inffiexmid  6766  supubti  6852  suplubti  6853  ctssexmid  6990  caucvgprlemladdfu  7449  caucvgprlemladdrl  7450  suplocexprlemmu  7490  suplocexprlemru  7491  suplocexprlemdisj  7492  suplocexprlemub  7495  nnindnn  7665  negf1o  8108  apsscn  8372  sup3exmid  8675  nnind  8696  peano2uz2  9112  peano5uzti  9113  dfuzi  9115  uzind  9116  uzind3  9118  eluz1  9282  uzind4  9335  supinfneg  9342  infsupneg  9343  eqreznegel  9358  elixx1  9631  elioo2  9655  elfz1  9746  expcl2lemap  10256  expclzaplem  10268  expclzap  10269  expap0i  10276  expge0  10280  expge1  10281  hashennnuni  10476  shftf  10553  reccn2ap  11033  dvdsdivcl  11455  divalgmod  11531  zsupcl  11547  infssuzex  11549  infssuzcldc  11551  bezoutlemsup  11604  dfgcd2  11609  lcmcllem  11655  lcmledvds  11658  lcmgcdlem  11665  1nprm  11702  1idssfct  11703  isprm2  11705  phicl2  11796  hashdvds  11803  oddennn  11811  evenennn  11812  znnen  11817  ennnfonelemg  11822  ennnfonelemom  11827  istopon  12086  epttop  12165  iscld  12178  isnei  12219  neipsm  12229  iscn  12272  iscnp  12274  txdis1cn  12353  ishmeo  12379  ispsmet  12398  ismet  12419  isxmet  12420  elblps  12465  elbl  12466  xmetxpbl  12583  reopnap  12613  divcnap  12630  elcncf  12635  cdivcncfap  12662  cnopnap  12669  ellimc3apf  12704  limccoap  12722  dvlemap  12724  dvidlemap  12735  dvcnp2cntop  12738  dvaddxxbr  12740  dvmulxxbr  12741  dvcoapbr  12746  dvcjbr  12747  dvrecap  12752  dveflem  12761  subctctexmid  13030
  Copyright terms: Public domain W3C validator