Theorem opelcn 7788

Description: Ordered pair membership in the class of complex numbers. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
opelcn	⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ℂ ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R))

Proof of Theorem opelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7780	. . 3 ⊢ ℂ = (R × R)
2	1	eleq2i 2237	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ℂ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R))
3		opelxp 4641	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R))
4	2, 3	bitri 183	1 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ℂ ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586   × cxp 4609  Rcnr 7259  ℂcc 7772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-c 7780

This theorem is referenced by:  axicn  7825