Theorem opelreal 7960

Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
opelreal	⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

Proof of Theorem opelreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. 2 ⊢ 0R = 0R
2		df-r 7955	. . . 4 ⊢ ℝ = (R × {0R})
3	2	eleq2i 2273	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}))
4		opelxp 4713	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}))
5		0r 7883	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
6	5	elexi 2786	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ V
7	6	elsn 3654	. . . 4 ⊢ (0R ∈ {0R} ↔ 0R = 0R)
8	7	anbi2i 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
9	3, 4, 8	3bitri 206	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
10	1, 9	mpbiran2 944	1 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3638  ⟨cop 3641   × cxp 4681  Rcnr 7430  0_Rc0r 7431  ℝcr 7944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-mqqs 7483  df-1nqqs 7484  df-rq 7485  df-ltnqqs 7486  df-inp 7599  df-i1p 7600  df-enr 7859  df-nr 7860  df-0r 7864  df-r 7955

This theorem is referenced by:  ltresr  7972  pitore  7983  recnnre  7984  peano1nnnn  7985  ax1cn  7994  ax1re  7995  axaddrcl  7998  axmulrcl  8000  axrnegex  8012  axprecex  8013  axcnre  8014  axcaucvglemres  8032  axpre-suploclemres  8034