ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opelreal GIF version

Theorem opelreal 7814
Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
opelreal (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴R)

Proof of Theorem opelreal
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2 0R = 0R
2 df-r 7809 . . . 4 ℝ = (R × {0R})
32eleq2i 2244 . . 3 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}))
4 opelxp 4653 . . 3 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}) ↔ (𝐴R ∧ 0R ∈ {0R}))
5 0r 7737 . . . . . 6 0RR
65elexi 2749 . . . . 5 0R ∈ V
76elsn 3607 . . . 4 (0R ∈ {0R} ↔ 0R = 0R)
87anbi2i 457 . . 3 ((𝐴R ∧ 0R ∈ {0R}) ↔ (𝐴R ∧ 0R = 0R))
93, 4, 83bitri 206 . 2 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝐴R ∧ 0R = 0R))
101, 9mpbiran2 941 1 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3591  cop 3594   × cxp 4621  Rcnr 7284  0Rc0r 7285  cr 7798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7291  df-pli 7292  df-mi 7293  df-lti 7294  df-plpq 7331  df-mpq 7332  df-enq 7334  df-nqqs 7335  df-plqqs 7336  df-mqqs 7337  df-1nqqs 7338  df-rq 7339  df-ltnqqs 7340  df-inp 7453  df-i1p 7454  df-enr 7713  df-nr 7714  df-0r 7718  df-r 7809
This theorem is referenced by:  ltresr  7826  pitore  7837  recnnre  7838  peano1nnnn  7839  ax1cn  7848  ax1re  7849  axaddrcl  7852  axmulrcl  7854  axrnegex  7866  axprecex  7867  axcnre  7868  axcaucvglemres  7886  axpre-suploclemres  7888
  Copyright terms: Public domain W3C validator