Theorem ordge1n0im 6535

Description: An ordinal greater than or equal to 1 is nonzero. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordge1n0im	⊢ (Ord 𝐴 → (1o ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ordge1n0im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordgt0ge1 6534	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
2		ne0i 3471	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
3	1, 2	biimtrrdi 164	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  Ord word 4417  1_oc1o 6508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-nul 4178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-uni 3857  df-tr 4151  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-1o 6515

This theorem is referenced by: (None)