Theorem ordge1n0im 6404

Description: An ordinal greater than or equal to 1 is nonzero. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordge1n0im	⊢ (Ord 𝐴 → (1o ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ordge1n0im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordgt0ge1 6403	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
2		ne0i 3415	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
3	1, 2	syl6bir 163	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  Ord word 4340  1_oc1o 6377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-nul 4108

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-1o 6384

This theorem is referenced by: (None)