Theorem ne0i 3374

Description: If a set has elements, it is not empty. A set with elements is also inhabited, see elex2 2705. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ne0i	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3373	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
2	1	neneqad 2388	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∅c0 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369

This theorem is referenced by:  ne0d  3375  ne0ii  3377  vn0  3378  inelcm  3428  rzal  3465  rexn0  3466  snnzg  3648  prnz  3653  tpnz  3656  brne0  3985  onn0  4330  nn0eln0  4541  ordge1n0im  6341  nnmord  6421  map0g  6590  phpm  6767  fiintim  6825  addclpi  7159  mulclpi  7160  uzn0  9365  iccsupr  9779