Theorem ssrab 3141

Description: Subclass of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssrab	⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2399	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq2i 3090	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ 𝐵 ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
3		ssab 3133	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		dfss3 3053	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	anbi1i 451	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
6		r19.26 2532	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
7		df-ral 2395	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
8	5, 6, 7	3bitr2ri 208	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
9	2, 3, 8	3bitri 205	1 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1312   ∈ wcel 1463  {cab 2101  ∀wral 2390  {crab 2394   ⊆ wss 3037

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rab 2399  df-in 3043  df-ss 3050

This theorem is referenced by:  ssrabdv  3142  frind  4234  epttop  12102