ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rabss GIF version

Theorem rabss 3144
Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
rabss ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss
StepHypRef Expression
1 df-rab 2402 . . 3 {𝑥𝐴𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)}
21sseq1i 3093 . 2 ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} ⊆ 𝐵)
3 abss 3136 . 2 ({𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵))
4 impexp 261 . . . 4 (((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ (𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
54albii 1431 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
6 df-ral 2398 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝑥𝐵)))
75, 6bitr4i 186 . 2 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → 𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
82, 3, 73bitri 205 1 ({𝑥𝐴𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝑥𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1314  wcel 1465  {cab 2103  wral 2393  {crab 2397  wss 3041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rab 2402  df-in 3047  df-ss 3054
This theorem is referenced by:  rabssdv  3147  dvdsssfz1  11477  phibndlem  11819  dfphi2  11823  istopon  12107  blsscls2  12589
  Copyright terms: Public domain W3C validator