Theorem rabss 3269

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rabss	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2492	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq1i 3218	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵)
3		abss 3261	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		impexp 263	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	4	albii 1492	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
6		df-ral 2488	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))
8	2, 3, 7	3bitri 206	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1370   ∈ wcel 2175  {cab 2190  ∀wral 2483  {crab 2487   ⊆ wss 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rab 2492  df-in 3171  df-ss 3178

This theorem is referenced by:  rabssdv  3272  dvdsssfz1  12082  phibndlem  12457  dfphi2  12461  mgmidsssn0  13134  istopon  14403  blsscls2  14883