Theorem bnlmod 25676

Description: A Banach space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bnlmod	⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem bnlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnlm 25674	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmlmod 25009	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  LModclmod 21147  NrmModcnlm 24911  Bancbn 25666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-nul 5262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-iota 6500  df-fv 6554  df-ov 7430  df-nlm 24917  df-nvc 24918  df-bn 25669

This theorem is used by:  sitgclbn  35028