Theorem bnlmod 25271

Description: A Banach space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bnlmod	⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem bnlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnlm 25269	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmlmod 24594	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  LModclmod 20795  NrmModcnlm 24496  Bancbn 25261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-nul 5246

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7355  df-nlm 24502  df-nvc 24503  df-bn 25264

This theorem is referenced by:  sitgclbn  34377