Theorem sitgclbn 34975

Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces, with additional conditions on its scalar field. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclbn.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
sitgclbn.2	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )

Assertion

Ref	Expression
sitgclbn	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclbn

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sibfmbl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10		eqid 2761	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2761	. 2 ⊢ ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12		sitgclbn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
13		bncms 25665	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
14		cmsms 25669	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ CMetSp → 𝑊 ∈ MetSp)
15		mstps 24774	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
16	12, 13, 14, 15	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
17		bnlmod 25664	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ LMod)
18		lmodcmn 21185	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
19	12, 17, 18	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
20		sitgclbn.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
21	12, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
23		imassrn 6197	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
24	6	rneqi 5919	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝐻 = ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26	25	rrhfe 34644	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
27		frn 6717	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	20, 26, 27	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29	24, 28	eqsstrid 3969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
30	23, 29	sstrid 3942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31	30	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	31	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34	1, 10, 5, 25	lmodvscl 21153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
35	22, 32, 33, 34	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 19, 20, 35	sitgclg 34974	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  [,)cico 13478  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  distcds 17437  TopOpenctopn 17592  0_gc0g 17610  CMndccmn 19994  LModclmod 21135  TopSpctps 23250  MetSpcms 24637  CMetSpccms 25653  Bancbn 25654  ℝHomcrrh 34625   ℝExt crrext 34626  sigaGencsigagen 34771  measurescmeas 34828  sitgcsitg 34961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-numer 16911  df-denom 16912  df-gz 17108  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-od 19742  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-abv 21066  df-lmod 21137  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-metu 21677  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-zlm 21810  df-chr 21811  df-refld 21911  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-reg 23634  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-fcls 24260  df-cnext 24379  df-ust 24520  df-utop 24550  df-uss 24575  df-usp 24576  df-ucn 24594  df-cfilu 24605  df-cusp 24616  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nrg 24904  df-nlm 24905  df-nvc 24906  df-cncf 25199  df-cfil 25576  df-cmet 25578  df-cms 25656  df-bn 25657  df-qqh 34603  df-rrh 34627  df-rrext 34631  df-esum 34660  df-siga 34741  df-sigagen 34772  df-meas 34829  df-mbfm 34883  df-sitg 34962

This theorem is used by:  sitgclcn  34976  sitgclre  34977