Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclbn 34310
Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces, with additional conditions on its scalar field. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclbn.1 (𝜑𝑊 ∈ Ban)
sitgclbn.2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
Assertion
Ref Expression
sitgclbn (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclbn
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . 2 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . 2 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . 2 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . 2 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . 2 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . 2 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sibfmbl.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10 eqid 2740 . 2 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11 eqid 2740 . 2 ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12 sitgclbn.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Ban)
13 bncms 25399 . . 3 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
14 cmsms 25403 . . 3 (𝑊 ∈ CMetSp → 𝑊 ∈ MetSp)
15 mstps 24488 . . 3 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
1612, 13, 14, 154syl 19 . 2 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
17 bnlmod 25398 . . 3 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ LMod)
18 lmodcmn 20932 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
1912, 17, 183syl 18 . 2 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
20 sitgclbn.2 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
2112, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
22213ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
23 imassrn 6102 . . . . . 6 (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
246rneqi 5962 . . . . . . 7 ran 𝐻 = ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
25 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2625rrhfe 33960 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
27 frn 6756 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2820, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2924, 28eqsstrid 4057 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3023, 29sstrid 4020 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3130sselda 4008 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32313adant3 1132 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33 simp3 1138 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
341, 10, 5, 25lmodvscl 20900 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
3522, 32, 33, 34syl3anc 1371 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 19, 20, 35sitgclg 34309 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wss 3976   cuni 4931   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701  cres 5702  cima 5703  wf 6571  cfv 6575  (class class class)co 7450  cr 11185  0cc0 11186  +∞cpnf 11323  [,)cico 13411  Basecbs 17260  Scalarcsca 17316   ·𝑠 cvsca 17317  distcds 17322  TopOpenctopn 17483  0gc0g 17501  CMndccmn 19824  LModclmod 20882  TopSpctps 22961  MetSpcms 24351  CMetSpccms 25387  Bancbn 25388  ℝHomcrrh 33941   ℝExt crrext 33942  sigaGencsigagen 34104  measurescmeas 34161  sitgcsitg 34296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-addf 11265  ax-mulf 11266
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-tpos 8269  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-fi 9482  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ioo 13413  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14055  df-exp 14115  df-hash 14382  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16305  df-gcd 16543  df-numer 16784  df-denom 16785  df-gz 16979  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17484  df-topn 17485  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-topgen 17505  df-pt 17506  df-prds 17509  df-xrs 17564  df-qtop 17569  df-imas 17570  df-xps 17572  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mhm 18820  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19255  df-cntz 19359  df-od 19572  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20362  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-rhm 20500  df-nzr 20541  df-subrng 20574  df-subrg 20599  df-drng 20755  df-abv 20834  df-lmod 20884  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-fbas 21386  df-fg 21387  df-metu 21388  df-cnfld 21390  df-zring 21483  df-zrh 21539  df-zlm 21540  df-chr 21541  df-refld 21648  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22976  df-cld 23050  df-ntr 23051  df-cls 23052  df-nei 23129  df-cn 23258  df-cnp 23259  df-haus 23346  df-reg 23347  df-cmp 23418  df-tx 23593  df-hmeo 23786  df-fil 23877  df-fm 23969  df-flim 23970  df-flf 23971  df-fcls 23972  df-cnext 24091  df-ust 24232  df-utop 24263  df-uss 24288  df-usp 24289  df-ucn 24308  df-cfilu 24319  df-cusp 24330  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-nm 24618  df-ngp 24619  df-nrg 24621  df-nlm 24622  df-nvc 24623  df-cncf 24925  df-cfil 25310  df-cmet 25312  df-cms 25390  df-bn 25391  df-qqh 33921  df-rrh 33943  df-rrext 33947  df-esum 33994  df-siga 34075  df-sigagen 34105  df-meas 34162  df-mbfm 34216  df-sitg 34297
This theorem is referenced by:  sitgclcn  34311  sitgclre  34312
  Copyright terms: Public domain W3C validator