Theorem nlmlmod 24643

Description: A normed module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmlmod	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem nlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 24640	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp2d 1144	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   · cmul 11043  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  LModclmod 20855  normcnm 24541  NrmGrpcngp 24542  NrmRingcnrg 24544  NrmModcnlm 24545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-nlm 24551

This theorem is referenced by:  nlmdsdi  24646  nlmdsdir  24647  nlmmul0or  24648  nlmvscnlem2  24650  nlmvscn  24652  nlmtlm  24659  nvclmod  24663  isnvc2  24664  lssnlm  24666  ngpocelbl  24669  idnmhm  24719  0nmhm  24720  nmhmplusg  24722  nmhmcn  25087  cphlmod  25141  bnlmod  25310  nmmulg  34110