Theorem nlmlmod 24850

Description: A normed module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmlmod	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem nlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 24847	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp2d 1161	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   · cmul 11115  Basecbs 17279  Scalarcsca 17323   ·_𝑠 cvsca 17324  LModclmod 20996  normcnm 24748  NrmGrpcngp 24749  NrmRingcnrg 24751  NrmModcnlm 24752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7419  df-nlm 24758

This theorem is used by:  nlmdsdi  24853  nlmdsdir  24854  nlmmul0or  24855  nlmvscnlem2  24857  nlmvscn  24859  nlmtlm  24866  nvclmod  24870  isnvc2  24871  lssnlm  24873  ngpocelbl  24876  idnmhm  24926  0nmhm  24927  nmhmplusg  24929  nmhmcn  25294  cphlmod  25348  bnlmod  25517  nmmulg  34369