Theorem nlmlmod 24804

Description: A normed module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmlmod	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem nlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 24801	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp2d 1159	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   · cmul 11105  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  LModclmod 20959  normcnm 24702  NrmGrpcngp 24703  NrmRingcnrg 24705  NrmModcnlm 24706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-nul 5271

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7414  df-nlm 24712

This theorem is referenced by:  nlmdsdi  24807  nlmdsdir  24808  nlmmul0or  24809  nlmvscnlem2  24811  nlmvscn  24813  nlmtlm  24820  nvclmod  24824  isnvc2  24825  lssnlm  24827  ngpocelbl  24830  idnmhm  24880  0nmhm  24881  nmhmplusg  24883  nmhmcn  25248  cphlmod  25302  bnlmod  25471  nmmulg  34301