Theorem nlmlmod 24661

Description: A normed module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmlmod	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem nlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 24658	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp2d 1149	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   · cmul 11034  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  LModclmod 20850  normcnm 24559  NrmGrpcngp 24560  NrmRingcnrg 24562  NrmModcnlm 24563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-nul 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-nlm 24569

This theorem is referenced by:  nlmdsdi  24664  nlmdsdir  24665  nlmmul0or  24666  nlmvscnlem2  24668  nlmvscn  24670  nlmtlm  24677  nvclmod  24681  isnvc2  24682  lssnlm  24684  ngpocelbl  24687  idnmhm  24737  0nmhm  24738  nmhmplusg  24740  nmhmcn  25105  cphlmod  25159  bnlmod  25328  nmmulg  34150