Theorem nlmlmod 24738

Description: A normed module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmlmod	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem nlmlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 24735	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp2d 1156	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   · cmul 11078  Basecbs 17245  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  LModclmod 20927  normcnm 24636  NrmGrpcngp 24637  NrmRingcnrg 24639  NrmModcnlm 24640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-nul 5256

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6477  df-fv 6529  df-ov 7399  df-nlm 24646

This theorem is referenced by:  nlmdsdi  24741  nlmdsdir  24742  nlmmul0or  24743  nlmvscnlem2  24745  nlmvscn  24747  nlmtlm  24754  nvclmod  24758  isnvc2  24759  lssnlm  24761  ngpocelbl  24764  idnmhm  24814  0nmhm  24815  nmhmplusg  24817  nmhmcn  25182  cphlmod  25236  bnlmod  25405  nmmulg  34263