Theorem br1cnvinxp 38968

Description: Binary relation on the converse of an intersection with a Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvinxp	⊢ (𝐶◡(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷𝑅𝐶))

Proof of Theorem br1cnvinxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relinxp 5803	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))
2	1	relbrcnv 6111	. 2 ⊢ (𝐶◡(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ 𝐷(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐶)
3		brinxp2 5741	. 2 ⊢ (𝐷(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐶 ↔ ((𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐷𝑅𝐶))
4		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴))
5	4	anbi1i 636	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐷𝑅𝐶) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷𝑅𝐶))
6	2, 3, 5	3bitri 300	1 ⊢ (𝐶◡(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷𝑅𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671

This theorem is used by:  br1cnvres  38983