Theorem br1cnvinxp 38218

Description: Binary relation on the converse of an intersection with a Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvinxp	⊢ (𝐶◡(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷𝑅𝐶))

Proof of Theorem br1cnvinxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relinxp 5768	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))
2	1	relbrcnv 6067	. 2 ⊢ (𝐶◡(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ 𝐷(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐶)
3		brinxp2 5709	. 2 ⊢ (𝐷(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐶 ↔ ((𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐷𝑅𝐶))
4		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴))
5	4	anbi1i 624	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐷𝑅𝐶) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷𝑅𝐶))
6	2, 3, 5	3bitri 297	1 ⊢ (𝐶◡(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷𝑅𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   class class class wbr 5102   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639

This theorem is referenced by:  br1cnvres  38231