Theorem brinxp2 5710

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 3-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Group conjuncts and avoid df-3an 1089. (Revised by Peter Mazsa, 18-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp2	⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))

Proof of Theorem brinxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brin 5152	. 2 ⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ (𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷))
2		ancom 460	. 2 ⊢ ((𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ∧ 𝐶𝑅𝐷))
3		brxp 5681	. . 3 ⊢ (𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵))
4	3	anbi1i 625	. 2 ⊢ ((𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 2, 4	3bitri 297	1 ⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   class class class wbr 5100   × cxp 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638

This theorem is referenced by:  brinxp  5711  opelinxp  5712  fncnv  6573  erinxp  8740  fpwwe2lem7  10560  fpwwe2lem8  10561  fpwwe2lem11  10564  nqerf  10853  nqerid  10856  isstruct  17091  pwsle  17425  psss  18515  psssdm2  18516  pi1cpbl  25012  pi1grplem  25017  br1cnvinxp  38507  brres2  38521  inxpss  38565  inxpss3  38568  idinxpssinxp2  38572  inxp2  38623  inxpxrn  38666