Theorem brinxp2 5709

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 3-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Group conjuncts and avoid df-3an 1088. (Revised by Peter Mazsa, 18-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp2	⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))

Proof of Theorem brinxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brin 5154	. 2 ⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ (𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷))
2		ancom 460	. 2 ⊢ ((𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ∧ 𝐶𝑅𝐷))
3		brxp 5680	. . 3 ⊢ (𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵))
4	3	anbi1i 624	. 2 ⊢ ((𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 2, 4	3bitri 297	1 ⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   class class class wbr 5102   × cxp 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637

This theorem is referenced by:  brinxp  5710  opelinxp  5711  fncnv  6573  erinxp  8741  fpwwe2lem7  10566  fpwwe2lem8  10567  fpwwe2lem11  10570  nqerf  10859  nqerid  10862  isstruct  17098  pwsle  17431  psss  18515  psssdm2  18516  pi1cpbl  24920  pi1grplem  24925  br1cnvinxp  38218  brres2  38230  inxpss  38272  inxpss3  38275  idinxpssinxp2  38279  inxp2  38322  inxpxrn  38354