Theorem brinxp2 5733

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 3-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Group conjuncts and avoid df-3an 1105. (Revised by Peter Mazsa, 18-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp2	⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))

Proof of Theorem brinxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brin 5157	. 2 ⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ (𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷))
2		ancom 466	. 2 ⊢ ((𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ∧ 𝐶𝑅𝐷))
3		brxp 5704	. . 3 ⊢ (𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵))
4	3	anbi1i 636	. 2 ⊢ ((𝐶(𝐴 × 𝐵)𝐷 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 2, 4	3bitri 300	1 ⊢ (𝐶(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝐷 ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103   × cxp 5653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661

This theorem is used by:  brinxp  5734  opelinxp  5735  fncnv  6606  erinxp  8791  fpwwe2lem7  10646  fpwwe2lem8  10647  fpwwe2lem11  10650  nqerf  10939  nqerid  10942  isstruct  17244  pwsle  17578  psss  18668  psssdm2  18669  pi1cpbl  25272  pi1grplem  25277  cgraer  29256  angmgmlem  29274  br1cnvinxp  39007  brres2  39021  inxpss  39065  inxpss3  39068  idinxpssinxp2  39072  inxp2  39123  inxpxrn  39166